Lösung von Aufgabe 6.4: Unterschied zwischen den Versionen
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Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen. | Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen. | ||
| − | Fall 1: koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g | + | |
| + | =====Fall 1:===== | ||
| + | koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g | ||
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5 | Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5 | ||
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...hier sind es sogar alle drei Punkte. | ...hier sind es sogar alle drei Punkte. | ||
| − | Fall 2: | + | =====Fall 2:===== |
| + | Je zwei Punkte sind nichtkollinear. | ||
| + | o.B.d.A koll(A, B) -> nkoll(A, C) <math>\wedge</math> nkoll(B, C) | ||
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| + | AXIOM I/1(Axiom von der Geraden) | ||
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| + | Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. | ||
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| + | <br />(Deswegen brauchen wir auch den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!) | ||
<br /> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] | <br /> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] | ||
Version vom 4. Juni 2010, 02:58 Uhr
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.
| Beweisschritt | Begründung |
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B B nicht identisch C C nicht identlich A || 1)nach Definition I/6 |
=> A, B, C sind paarweise verschieden
Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola
Inhaltsverzeichnis |
Behauptung:
Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung:
Es existiert eine Ebene E mit A, B, C 
Annahme:
A, B, C sind paarweise verschieden.
Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.
Fall 1:
koll(A, B, C) <-> A, B, C Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C und (nach Fallunterscheidung) A, B, C g. Dann greift Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
...hier sind es sogar alle drei Punkte.
Fall 2:
Je zwei Punkte sind nichtkollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> nkoll(A, C) 
nkoll(B, C)
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
(Deswegen brauchen wir auch den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!)
