Lösung von Aufgabe 9.3 S

Die Aufgabe

Satz

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $E$. Ferner sei $P$ ein Punkt auf $g$. In der Ebene $E$ gibt es genau eine Gerade $s$, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.

Beweisen Sie den Satz.

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Eindeutigkeitsbeweis..Beweisen durch Widerspruch!
Annahme: Es gibt 2 nicht identische Geraden, die durch den Punkt P gehen und g senkrecht schneiden.
Fortsetzung folgt...
Könnte man hier nicht einen Widerspruchsbeweis mit dem Winkelkonstruktionsaxiom führen?? Letztendlich wird dann gesagt, dass es ein Widerspruch zu diesem Axiom wäre, da es nur genau einen Strahl in der Halbebene gibt, der das Maß 90 hat..?!?
$\Rightarrow$ die 2 Geraden müssten identisch sein, also Widerspruch zur Annahme! Behauptung stimmt..

--Tchu Tcha Tcha 16:56, 20. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Richtig, Eindeutigkeitsbeweise führt man in der Regel indirekt. Wir nehmen an, es gäbe zwei Geraden $s_1$ und $s_2$, die beide durch $P$ gehen und senkrecht auf $g$ stehen. Senkrecht stehen bedeutet, dass rechte Winkel gebildet werden. Jeder rechte Winkel hat das maß 90° ... . Sie haben den Beweis schon völlig verstanden. Was Ihnen wahrscheinlich Schwierigkeiten bereitet, ist das Aufschreiben desselben. Hilfe: Führen Sie auf $g, s_1$ und $s_2$ geeignete Punkte ein. Dann können Sie die entstehenden rechten Winkel besser bezeichnen. Danach wird Ihnen das Winkelkonstruktionsaxiom wacker zur Seite stehen.--*m.g.* 10:04, 24. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Ritterport

Idee: (Wir sind in einer Ebene E)
Es gibt einen Punkt $K$, der nicht auf $g$ liegt. Die Gerade $s$ geht durch $K$ und $P$. (Axiom I.1)
Also: $g \cap s = \{P\}$
Winkel $\angle gPs$ hat das Maß $90$ (Es gibt rechte Winkel, Axiom W.4 --> Alle vier Winkel um P haben das Maß 90)
--> Eindeutigkeit und Existenz bewiesen. (!?)
--RitterSport 19:50, 23. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkung M.G.

Sie verwenden einen beliebigen Punkt $K$ außerhalb von $g$. Das ist Ihr gutes Recht und auch nach den Axiomen der absoluten Geometrie zulässig. Die beiden Punkte $K$ und $P$ bestimmen jetzt eindeutig eine Gerade, was natürlich entsprechend I/1 gilt. Warum sollte diese Gerade jetzt aber mit der Geraden $g$ rechte Winkel bilden? Der Punkt $K$ war beliebig in unserer Ebene gewählt. Einzige Bedingung war, dass er nicht auf $g$ liegen sollte. Da bedarf es schon einer gehörigen Portion Glück, den Punkt $K$ derart gewählt zu haben, dass $KP \perp g$ gilt.

Was hilft wirklich? Wir wissen, dass wir einen Winkel mit dem Maß 90° bräuchten. Dieser sollte $P$ als Scheitelpunkt haben und eine der beiden Halbgeraden von $g$, die durch $P$ eindeutig bestimmt sind, als Schenkel verwenden.

Fangen wir doch einfach mit dem einer dieser Halbgeraden an: Es sei $PA^+$ eine der beiden Halbgeraden, die durch $P$ auf $g$ eindeutig bestimmt sind. Das Winkelkonstruktionsaxiom liefert uns jetzt ...

--*m.g.* 10:21, 24. Jun. 2012 (CEST)