Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13): Unterschied zwischen den Versionen
(table+) |
|||
Zeile 6: | Zeile 6: | ||
Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)<br /> | Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)<br /> | ||
+ | |||
+ | 2) Beweis | ||
+ | |||
+ | '''Voraussetzung''':<br /> | ||
+ | D͞E ≔ {D} = BC⁺ ∩ k ∧ {E} = BA⁺ ∩ k<br /> | ||
+ | mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | {M} = p ∩ l ≠ B<br /> | ||
+ | mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}<br /> | ||
+ | <br /> | ||
+ | {P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST) | ||
+ | <br /> | ||
+ | '''Behauptung''':<br /> | ||
+ | P ist Mittelpunkt von D͞E<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST) | ||
+ | <br /> | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable " | ||
+ | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
+ | ! | ||
+ | ! Beweisschritt | ||
+ | ! Begründung | ||
+ | |- | ||
+ | | 1) | ||
+ | | {P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E | ||
+ | | Voraussetzung, Konstruktion | ||
+ | Mittelsenkrechte | ||
+ | |- | ||
+ | | 2) | ||
+ | | |BD| = |BE| | ||
+ | | Voraussetzung; | ||
+ | Mittelsenkrechtenkriterium | ||
+ | |- | ||
+ | | 3) | ||
+ | | |DP| = |PE| | ||
+ | | (1); (2); Def. Mittelsenkrechte | ||
+ | |- | ||
+ | | 4) | ||
+ | | P ist Mittelpunkt von D͞E | ||
+ | | (1); (3); Def. Mittelsenkrechte | ||
+ | |}<br />--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST) |
Version vom 14. Juli 2013, 17:33 Uhr
- Gegeben sei ein Winkel und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels liegt. Konstruieren Sie eine Strecke deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels liegen und P Mittelpunkt der Strecke ist.
- Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
1) Konstruktion
Zeichne einen Strahl BA⁺. Zeichne einen weiteren, von BA⁺ verschiedenen Strahl, BC⁺ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie BA⁺. Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius r = |B͞D| = |B͞E|, r > 0. Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: {M} = p ∩ l ≠ B. Zeichne nun den Strahl BM⁺. Zeichne die Strecke D͞E ein. Zeichne nun den Punkt P ein mit der folgenden Bedingung: {P} = D͞E ∩ BM⁺.--Nolessonlearned 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)
2) Beweis
Voraussetzung:
D͞E ≔ {D} = BC⁺ ∩ k ∧ {E} = BA⁺ ∩ k
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}
{M} = p ∩ l ≠ B
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}
{P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
P ist Mittelpunkt von D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
1) | {P} = D͞E ∩ BM⁺ ∧ BM⁺ ⊥ D͞E | Voraussetzung, Konstruktion
Mittelsenkrechte |
2) | BD| = |BE| | Voraussetzung;
Mittelsenkrechtenkriterium |
3) | DP| = |PE| | (1); (2); Def. Mittelsenkrechte |
4) | P ist Mittelpunkt von D͞E | (1); (3); Def. Mittelsenkrechte |
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)