Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

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Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.



Voraussetzung Dreieck ABC mit den Innenwinkeln \alpha ,\beta ,\gamma
Behauptung \left| \alpha  \right| +\left| \beta  \right| +\left| \gamma  \right| = 180


Beweisschritte Begründung
1. Wir konstruieren eine Gerade g, für die gilt g ll \overline{AB} ^ C\ing Parallelenaxiom, Vor.
2. D(mb,180)(A)=C ^ D(mb,180)(B)=B' 1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
2.1 B'C \equiv g 1.),2.)
3. \alpha \tilde {=}\alpha ' Wechselwinkelsatz, 1.),2.),2.1), Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
4. D(ma,180)(A)=A' ^D(ma,180)(B)=C 1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
5. \beta \tilde {=} \beta' 4.),2.1) Wechselwinkelsatz, Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
6. \left| \alpha'   \right| + \left| \beta' \right|+ \left| \gamma   \right|= 180 4.), 5.),Def. Nebenwinkel, Satz(Nebenwinkel sind supplementär)
7. \left| \alpha   \right| + \left| \beta \right|+ \left| \gamma   \right|= 180 3.),5.),6.)


--TobiWan 00:37, 3. Feb. 2013 (CET)