Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12): Unterschied zwischen den Versionen

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| (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft.
 
| (2) ||<math>\operatorname{nkoll} (X,Y,P)</math>||Nach Voraussetzung gehört <math>P</math> nicht zu <math>g</math>, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte <math>X</math> und <math>Y</math> jedoch zutrifft.
 
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| (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4 Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
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| (3)|| <math>\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon</math> || Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
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Version vom 7. Juni 2012, 08:31 Uhr

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei \ g eine Gerade und \ P ein Punkt, der nicht zu \ g gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene \ \varepsilon, die sowohl alle Punkte von \ g als auch den Punkt \ P enthält.

Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.

Schritt Warum darf ich den Schritt machen?
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g I.2
(2)nkoll(X,Y,P) (1), Vor.
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene (2), I.4

Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte X,Y,P in der Ebene \varepsilon liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden g in \varepsilon liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.

Nr. Schritt Warum darf ich den Schritt machen?
(1) \exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
(2) \operatorname{nkoll} (X,Y,P) Nach Voraussetzung gehört P nicht zu g, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte X und Y jedoch zutrifft.
(3) \exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.
(4) g \subset \varepsilon Axiom ...
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