Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \varepsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.

Schritt	Warum darf ich den Schritt machen?
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g	I.2
(2)nkoll(X,Y,P)	(1), Vor.
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene	(2), I.4

Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte $X,Y,P$ in der Ebene $\varepsilon$ liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden $g$ in $\varepsilon$ liegen.

Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.

Nr.	Schritt	Warum darf ich den Schritt machen?
(1)	$\exist X, Y : X \in g \wedge Y \in g$	Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte.
(2)	$\operatorname{nkoll} (X,Y,P)$	Nach Voraussetzung gehört $P$ nicht zu $g$, was nach Schritt 1 für die beiden Punkte $X$ und $Y$ jedoch zutrifft.
$\exist \varepsilon: X, Y, P \in \varepsilon$	Axiom I/4 Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören.