Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

Beweisen Sie: Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Als Hilfe schon mal eine Tabelle. Für die Findung der Lösung darf auch nur angefangen werden. Ist es sinnvoll den Beweis direkt oder indirekt durch Widerspruch zu beweisen? Welche Definitionen sind vermutlich hilfreich? --Tutorin Anne 12:36, 10. Dez. 2012 (CET)

Beweis durch Kontraposition:
Note: $\neg (Zw (A,B,C)\vee Zw (A,C,B)\vee Zw (B,A,C)) \Leftrightarrow \neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)$

Voraussetzung	$\neg Zw (A,B,C) \wedge \neg Zw (A,C,B) \wedge \neg Zw (B,A,C)$
Behauptung	$\neg koll (A,B,C)$

Fall 1: $\neg Zw (A,B,C)$ (Vor1)

Fall 2: $\neg Zw (A,C,B)$ (Vor2)

Fall 3: $\neg Zw (B,A,C)$ (Vor3)

Zu Fall 1:

Beweisschritt	Begründung
1 |AB| + |BC| > |AC| v |AB| + |BC| < |AC|	Vor1; Def. Zw
2 Es existiert ein Dreieck ABC	1.); Dreiecksungleichung
3 $\neg koll (A,B,C)$	2.); Def. koll

Fall 2 und 3 analog zu Fall 1.
q.e.d.

• Tolle Idee. Aber auch hier muss man genau hinsehen:
  

Deine Note (= Notiz?) ist richtig, wie auch die Kontraposition, die du in Voraussetzung und Behauptung geteilt hast. Aber dann Vorsicht: Zuerst sehe ich es als problematisch eine Voraussetzung in Fälle zu unterteilen. Es geht ja um die gesamte Aussage.
Zweitens, der Teilbeweis für Fall 1 stimmt so nicht. Schritt 2 kannst du nicht folgern. Denn dies steht so nicht in der Dreiecksungleichung drin.Es kann aus |AB| + |BC| > |AC| immer noch folgen, dass koll (A,B,C) ist z.B. wenn Zw (A,C,B)gilt (Mache dir dazu eine Skizze).--Tutorin Anne 12:20, 20. Jan. 2013 (CET)