Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabe==
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Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:
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# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset  \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
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# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.
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Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)<br />
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:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.
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Beweisen Sie Satz  6.2.<br />
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(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
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==Lösung==
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Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>.<br />
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Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>.<br />
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Wir haben zu zeigen, dass .....
  
 
=Lösung Aufgabe 6.7=
 
=Lösung Aufgabe 6.7=

Version vom 14. Juni 2020, 14:29 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Lösung Aufgabe 6.1

Aufgabe 6.1

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

  1. M_1= \overline{AB} \cap AB^+.
  2. M_2= \overline{AB} \cup AB^+.
  3. M_3= \overline{AB} \cap BA^+.
  4. M_4= \overline{AB} \cup AB^-.
  5. M_5= \overline{AB} \cap AB^-.
  6. M_6= \overline{AB} \cup AB^-.

Lösung

Lösung Aufgabe 6.2

Aufgabe

Definieren Sie den Begriff Halbebene gA^-.

Lösung

Lösung Aufgabe 6.3

Aufgabe

Definition: (Dreieck)

Es gelte \operatorname{nkoll}(A,B,C).
\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}.


Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks \overline{ABC}.

I(\overline{ABC}):= \ldots.

Lösung

I(\overline{ABC}):= \ldots

Lösung Aufgabe 6.4

Aufgabe

Beweisen Sie den folgenden Satz:

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen)

Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

Lösung

Es seien M_1 und M_2 zwei konvexe Punktmengen ...

Lösung Aufgabe 6.5

Aufgabe

Beweisen Sie, dass jede Strecke \overline{AB} eine konvexe Menge ist.

Lösung

Es seien C und D zwei Punkte der Strecke \overline{AB}.
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

Lösung Aufgabe 6.6

Aufgabe

Gegeben seien in der Ebene \varepsilon die offene Halbebene gA^+, die Trägergerade g und die offene Halbebene gA^-. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

  1. gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset,
  2. gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)

Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2.

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)

Lösung

Wir beginnen mit der Halbebene gA^+.
Es seien nun P und Q zwei Punkte aus gA^+.
Wir haben zu zeigen, dass .....

Lösung Aufgabe 6.7

Lösung Aufgabe 6.8

Lösung Aufgabe 6.9

Lösung Aufgabe 6.10

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