Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | und nach Satz ...<br /> | ||
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Version vom 14. Juni 2020, 14:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Lösung Aufgabe 6.1
Aufgabe 6.1
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Lösung
Lösung Aufgabe 6.2
Aufgabe
Definieren Sie den Begriff Halbebene .
Lösung
Lösung Aufgabe 6.3
Aufgabe
Definition: (Dreieck)
- Es gelte .
- .
- Es gelte .
Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks .
.
Lösung
Lösung Aufgabe 6.4
Aufgabe
Beweisen Sie den folgenden Satz:
Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen)
- Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.
Lösung
Es seien und zwei konvexe Punktmengen ...
Lösung Aufgabe 6.5
Aufgabe
Beweisen Sie, dass jede Strecke eine konvexe Menge ist.
Lösung
Es seien und zwei Punkte der Strecke .
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....
Lösung Aufgabe 6.6
Aufgabe
Gegeben seien in der Ebene die offene Halbebene , die Trägergerade und die offene Halbebene . Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:
- ,
- .
Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen.
Beweisen Sie Satz 6.2.
(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
Lösung
Wir beginnen mit der Halbebene .
Es seien nun und zwei Punkte aus .
Wir haben zu zeigen, dass .....
Lösung Aufgabe 6.7
Aufgabe
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
Lösung
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge von ....
Weil Halbebenen nach ...
und nach Satz ...
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.