Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

Lösung Aufgabe 6.1

Aufgabe 6.1

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

1. $M_1= \overline{AB} \cap AB^+$.
2. $M_2= \overline{AB} \cup AB^+$.
3. $M_3= \overline{AB} \cap BA^+$.
4. $M_4= \overline{AB} \cup AB^-$.
5. $M_5= \overline{AB} \cap AB^-$.
6. $M_6= \overline{AB} \cup AB^-$.

Lösung Aufgabe 6.2

Aufgabe

Definieren Sie den Begriff Halbebene $gA^-$.

Lösung Aufgabe 6.3

Aufgabe

Definition: (Dreieck)

Es gelte $\operatorname{nkoll}(A,B,C)$.

$\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}$.

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks $\overline{ABC}$.

$I(\overline{ABC}):= \ldots$.

Lösung

$I(\overline{ABC}):= \ldots$

Lösung Aufgabe 6.4

Aufgabe

Beweisen Sie den folgenden Satz:

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen)

Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

Lösung

Es seien $M_1$ und $M_2$ zwei konvexe Punktmengen ...

Lösung Aufgabe 6.5

Aufgabe

Beweisen Sie, dass jede Strecke $\overline{AB}$ eine konvexe Menge ist.

Lösung

Es seien $C$ und $D$ zwei Punkte der Strecke $\overline{AB}$.
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

Lösung Aufgabe 6.6

Aufgabe

Gegeben seien in der Ebene $\varepsilon$ die offene Halbebene $gA^+$, die Trägergerade $g$ und die offene Halbebene $gA^-$. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

1. $gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset$,
2. $gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon$.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)

Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2.

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)

Lösung

Wir beginnen mit der Halbebene $gA^+$.
Es seien nun $P$ und $Q$ zwei Punkte aus $gA^+$.
Wir haben zu zeigen, dass .....