Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 12: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Juni 2012, 12:00 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Mittelsenkrechte
- 1.1 Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
2 Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung
3 Konstruktion eines Bildpunktes P' bei der Spiegelung mit Zirkel und Lineal
- 3.1 Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört.)
- 3.2 Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von gehört)

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ , wenn

$m \perp AB$
$\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung

Es sei g eine Gerade und $P\not\in g$ , ein beliebiger Punkt der mit g in der gleichen Ebene liegt. P' sei der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung $S_{g}$ .
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade g Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$ .

Konstruktion eines Bildpunktes P' bei der Spiegelung $S_{g}(P)$ mit Zirkel und Lineal

Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes P' bei der Spiegelung $S_{g}(P)$

Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?
Ihre Antwort:

Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt $P'$ , den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von P bei der Spiegelung $S_{g}(P)$ ?
Wenn wir beweisen könnten, dass $g$ tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$ ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, P' tatsächlich Bildpunkt von P bei der Spiegelung $S_{g}$ .
Nach unserer Konstruktion gilt: $\left| AP \right| =\left| AP' \right|$ und $\left| BP \right| =\left| BP' \right|$ . Wir können also sagen, die beiden Punkte A und B haben zu den beiden Endpunkten der Strecke $\overline{PP'}$ nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass A und B auf der Spiegelachse g liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass g die Mittelsenkrechte von $\overline{PP'}$ ist. Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:

Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$ gehört.)

Wenn ein Punkt $\ A$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{PP'}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$ .

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ A$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{PP'}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ P$ und $\ P'$ ein und denselben Abstand.

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 === Mittelsenkrechte ===
-Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:<br />
+Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br />
-eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br />
 Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:<br />
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 === Konstruktion eines Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> mit Zirkel und Lineal ===
-<ggb_applet width="908" height="528"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
+Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math><br /><br />
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+Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?<br />
+'''Ihre Antwort:'''
+<br /><br />
+Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt <math>P'</math>, den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math>?<br />Wenn wir beweisen könnten, dass <math>g</math> tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, ''P''' tatsächlich Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}</math>. <br />
+Nach unserer Konstruktion gilt: <math>\left| AP \right| =\left| AP' \right|</math> und <math>\left| BP \right| =\left| BP' \right|</math>. Wir können also sagen, die beiden Punkte ''A'' und ''B'' haben zu den beiden Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass ''A'' und ''B'' auf der Spiegelachse ''g'' liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass ''g'' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{PP'}</math> ist.
+Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:<br /><br />
+===== Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>gehört.) =====
+::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>.
+===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math> gehört)=====
+::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> ein und denselben Abstand.

Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 12: Unterschied zwischen den Versionen

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