Pfeilklassen 2012 13: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Definition|Strecke<br /> <math>A,B</math> seien zwei verschiedene Punkte. <math>\overline{AB}:=\left\{P|\operatorname{Zw}(A,P,B) \vee P=A \vee P=B \right\}</math>}}
 
{{Definition|Strecke<br /> <math>A,B</math> seien zwei verschiedene Punkte. <math>\overline{AB}:=\left\{P|\operatorname{Zw}(A,P,B) \vee P=A \vee P=B \right\}</math>}}
  
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Für strecken gilt: <math>\overline{AB} \equiv \overline{BC}</math>
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Für Strecken gilt: <math>\overline{AB} \equiv \overline{BC}</math>.
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Eine Strecke hat damit keinen Anfangspunkt. Keiner der beiden Punkte <math>A</math> und <math>B</math> ist dem anderen vorziehen. Beide heißen Endpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
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==Pfeile==
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Pfeile sind zunächst dasselbe wie Strecken: Eine Menge von Punkten, die zwischen zwei Punkten <math>A</math> und <math>B</math> liegen vereinigt mit der Menge die aus den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> besteht. Wir werden jetzt jedoch den erstgenannten Endpunkt vor dem zweitgenannten Endpunkt auszeichnen. Er wird Anfangspunkt genannt, der zweite Endpunkt heißt weiterhin Endpunkt. Anfangspunkt und Endpunkt einer solchen gerichteten Strecke bzw. eines solchen Pfeils bilden also ein geordnetes Paar. Die Reihenfolge ihrer Nennung ist damit nicht mehr beliebig.
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{{Definition|Pfeil <math>\vec{AB}</math><br />Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil  <math>\vec{AB}</math> ist das geordnete Paar <math>(A,B)</math>. <math>A</math> heißt Anfangspunkt des Pfeils <math>\vec{AB}</math>, <math>B</math> heißt Endpunkt des Pfeils <math>\vec{AB}</math>. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil <math>\vec{o}</math>. Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.}}
  
 
=Pfeilklassen=
 
=Pfeilklassen=
 
==Definition parallelgleich==
 
==Definition parallelgleich==
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Sollten <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> auf ein und derselben Geraden liegen, wählen wir zwei Punkte <math>C', D'</math> derart, dass <math>\overline{CDD'C'}</math> ein Parallelogramm ist und vergleichen <math>\vec{AB}</math> mit <math>\vec{C'D'}</math>. <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> sind dann gleichorientiert, falls <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{C'D'}</math> gleichorientiert sind.
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{{Definition|P.1 (parallelgleich)<br />Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> heißen parallelgleich, wenn <br />
 
{{Definition|P.1 (parallelgleich)<br />Zwei Pfeile <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{CD}</math> heißen parallelgleich, wenn <br />
 
# <math>|AB|=|CD|</math>
 
# <math>|AB|=|CD|</math>
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=Addition von Pfeilklassen=
 
=Addition von Pfeilklassen=
 
==Definition der Addition von Pfeilklassen==
 
==Definition der Addition von Pfeilklassen==
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{{Definition|P.3 (Addition auf der Menge der Pfeilklassen)<br />Es seien <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> zwei Pfeilklassen. Ferner seien...<br /><br />}}  
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{{Definition|P.3 (Addition auf der Menge der Pfeilklassen)<br />Es seien <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> zwei Pfeilklassen. Es sei <math>\vec{AB}</math> ein Repräsentant der Pfeilklasse <math>\vec{u}</math>. Aus der Pfeilklasse <math>\vec{v}</math> wählen wir als Repräsentanten den Pfeil, der <math>B</math> als Anfangspunkt hat: <math>\vec{BC} \in \vec{v}</math>. Die Summe  <math>\vec{u}+\vec{v}</math> ist die Pfeilklasse, zu der der Pfeil <math>\vec{AC}</math> gehört.<br /><br />}}  
 
Ich habe versucht die Definition zu vervollständigen, stimmt das so? --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 17:20, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />
 
Ich habe versucht die Definition zu vervollständigen, stimmt das so? --[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 17:20, 11. Dez. 2012 (CET)<br /><br />
 
<math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{BN}</math> jeweils ein Repäsentant von <math>\vec{u}</math> und einer von <math>\vec{v}</math>. Es gilt:<br /><br />
 
<math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{BN}</math> jeweils ein Repäsentant von <math>\vec{u}</math> und einer von <math>\vec{v}</math>. Es gilt:<br /><br />
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<math>\vec{AN}</math> ist ein Repräsentant der Pfeilklasse <math>\vec{w}</math>
 
<math>\vec{AN}</math> ist ein Repräsentant der Pfeilklasse <math>\vec{w}</math>
  
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<u>Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:35, 12. Dez. 2012 (CET):</u><br />
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Das passte so schon ganz gut. Ich hab versucht, die Definition ein wenig lesbarer zu gestalten. Ob mir das gelungen ist, bleibt abzuwarten.
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Es bleibt zu zeigen:
  
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Satz:(Wohldefiniertheit der Pfeilklassenaddition)<br />
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::Die Addition von Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.
 
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Aktuelle Version vom 12. Dezember 2012, 16:36 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Pfeile

Probleme?

(Unter einem Pfeil versteht man eine gerichtete Strecke. Wir werden den Begriff intuitiv gebrauchen.) Offenbar ist es so, dass Ihnen die intuitive Verwendung des Begriffs Pfeil nicht ganz geheuer ist. Ich kann das verstehen. Hier eine genauere Erläuterung:

Strecken

Strecken kennen wir aus der Einführung in die Geometrie:

Definition

Strecke
A,B seien zwei verschiedene Punkte. \overline{AB}:=\left\{P|\operatorname{Zw}(A,P,B) \vee P=A \vee P=B \right\}

Für Strecken gilt: \overline{AB} \equiv \overline{BC}.

Eine Strecke hat damit keinen Anfangspunkt. Keiner der beiden Punkte A und B ist dem anderen vorziehen. Beide heißen Endpunkte der Strecke \overline{AB}.

Pfeile

Pfeile sind zunächst dasselbe wie Strecken: Eine Menge von Punkten, die zwischen zwei Punkten A und B liegen vereinigt mit der Menge die aus den beiden Endpunkten A und B besteht. Wir werden jetzt jedoch den erstgenannten Endpunkt vor dem zweitgenannten Endpunkt auszeichnen. Er wird Anfangspunkt genannt, der zweite Endpunkt heißt weiterhin Endpunkt. Anfangspunkt und Endpunkt einer solchen gerichteten Strecke bzw. eines solchen Pfeils bilden also ein geordnetes Paar. Die Reihenfolge ihrer Nennung ist damit nicht mehr beliebig.

Definition

Pfeil \vec{AB}
Es seien A und B zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil \vec{AB} ist das geordnete Paar (A,B). A heißt Anfangspunkt des Pfeils \vec{AB}, B heißt Endpunkt des Pfeils \vec{AB}. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke \overline{AB}. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil \vec{o}. Zwei Pfeile \vec{AB} und \vec{CD} haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Pfeilklassen

Definition parallelgleich


Definition

P.0 (gleichorientierte nicht kollineare Pfeile}
Zwei nicht kollineare Pfeile \vec{AB} und \vec{CD} heißen gleichorientiert, falls AB \|| CD gilt und das Viereck \overline{ABCD} ein überschlagenes Viereck ist.


Sollten \vec{AB} und \vec{CD} auf ein und derselben Geraden liegen, wählen wir zwei Punkte C', D' derart, dass \overline{CDD'C'} ein Parallelogramm ist und vergleichen \vec{AB} mit \vec{C'D'}. \vec{AB} und \vec{CD} sind dann gleichorientiert, falls \vec{AB} und \vec{C'D'} gleichorientiert sind.

Definition

P.1 (parallelgleich)
Zwei Pfeile \vec{AB} und \vec{CD} heißen parallelgleich, wenn

  1. |AB|=|CD|
  2. AB \|| CD
  3. \vec{AB} und \vec{CD} sind gleichorientiert.

Eigenschaften

Satz P.1

Die Relation parallelgleich ist eine ÄR auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

Zu zeigen:
a) Reflexivität: \vec{a} \sim \vec{a}
b) Symmetrie: \vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a}
c) Transitivität: \vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c}

--Jessy* 17:08, 11. Dez. 2012 (CET)

Definition Pfeilklasse

Definition

P.2 (Pfeilklasse)
Eine Pfeilklasse des Raumes bzw. der Ebene ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation parallelgleich auf der menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

Addition von Pfeilklassen

Definition der Addition von Pfeilklassen

Definition

P.3 (Addition auf der Menge der Pfeilklassen)
Es seien \vec{u} und \vec{v} zwei Pfeilklassen. Es sei \vec{AB} ein Repräsentant der Pfeilklasse \vec{u}. Aus der Pfeilklasse \vec{v} wählen wir als Repräsentanten den Pfeil, der B als Anfangspunkt hat: \vec{BC} \in \vec{v}. Die Summe \vec{u}+\vec{v} ist die Pfeilklasse, zu der der Pfeil \vec{AC} gehört.

Ich habe versucht die Definition zu vervollständigen, stimmt das so? --Jessy* 17:20, 11. Dez. 2012 (CET)

\vec{AB} und \vec{BN} jeweils ein Repäsentant von \vec{u} und einer von \vec{v}. Es gilt:

\vec{AB} + \vec{BN} = \vec{AN}

\vec{AN} ist ein Repräsentant der Pfeilklasse \vec{w}

Kommentar --*m.g.* 15:35, 12. Dez. 2012 (CET):
Das passte so schon ganz gut. Ich hab versucht, die Definition ein wenig lesbarer zu gestalten. Ob mir das gelungen ist, bleibt abzuwarten.


Es bleibt zu zeigen:

Satz:(Wohldefiniertheit der Pfeilklassenaddition)

Die Addition von Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.
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