Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen

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Inhaltsverzeichnis

Drei nicht kollineare Punkte reichen aus

Satz:

Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.

Seien dies die Punkte A, B, C mit den Bildern A', B', C'.

Dazu nehmen wir an, dass es einen vierten Punkt D gibt, der zwei Bilder D' und D* mit D' \neq D*.

Der Beweis bietet sich in klassischer Tabellenform an.

Schritt Begründung
1. Es \ gilt: \ |AD| = |A'D'| = |A'D*| \ ; \ |BD| = |B'D'| = |B'D*| \ , \ |CD| = |C'D'| = |C'D*| Annahme D hat zwei Punkte, Definition Bewegung
2. Alle Punkte, für die gilt, dass sie von den Endpunkten einer Strecke je ein und denselben Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte. D. h. A', B' und C' liegen auf dieser Mittelsenkrechten von \overline{D'D*} Definition Mittelsenkrechte, (1)
3. Es gilt also: koll(A', B', C'). Da eine Gerade immer auf eine Gerade abgebildet wird, gilt auch koll(A, B, C) und das ist Widerspruch zur Voraussetzung - Annahme ist zu verwerfen. (2), Geradentreue bei Bewegung, Definition kollinear

--Flo60 18:20, 13. Mai 2012 (CEST)

Der Reduktionssatz

Satz: Reduktionssatz

Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.

Beweis

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte und \varphi eine Bewegung.
A'=\varphi(A), B'=\varphi(B), C'=\varphi(C) seien die Bilder von A, B, C bei \varphi

Fall 1

A=A', B=B', C=C'

Fall 2

o.B.d.A. A=A', B=B'

Wo muss C`liegen

C' muss auf dem Kreis um A durch C liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

C' muss auf dem Kreis um B durch C liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.

C' liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.

Warum wird C durch eine Spiegelung an AB auf C' abgebildet?

Es genügt zu zeigen, dass AB die Mittelsenkrechte von \overline{CC'} ist.

AB ist die Mittelsenkrechte von \overline{CC'} weil

|AC|=|AC'| und |BC|=|BC'|.

Fall 3

o.B.d.A. A=A'

Reduktionssatz fall 2.png


Spiegelung an der Mittelsenkrechten von \overline{BB'} führt auf Fall 2 zurück.

Fall 4

A \not= A', B\not=B', C\not=C'

Fall 4.1

Umlaufsinn bleibt erhalten



Hier nochmal mit Bearbeitungsmöglichkeit (Einfügen von Mittelsenkrechten, Strecken etc.)


--Flo60 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)

Fall 4.2

Umlaufsinn bleibt nicht erhalten


--Flo60 14:11, 29. Apr. 2012 (CEST)