Satz des Pythagoras WS 23 24: Unterschied zwischen den Versionen

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== '''Die Länge der Bildschirmdiagonale...''' ==
  
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1. Wiederholung Satz des Thales
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Hans möchte seinen alten Laptop verkaufen. Im Verkaufsportal muss er die Länge der Bildschirmdiagonale angeben. Bisher weiß er nur, dass der Bildschirm 25cm lang und 17cm breit ist.
  
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Bewege den Punkt C, der auf dem Kreis entlangläuft, indem du mit der linken Maustaste draufdrückst, die Taste gedrückt hältst und die Maus bewegst.
 
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Was kannst du beobachten? Was verändert sich? Besprich deine Beobachtungen mit deinem:deiner Sitznachbarin.
 
  
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Beobachte nun den Winkel α. Verändert sich seine Größe, wenn du den Punkt C bewegst?
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'''Frage:''' '''Wie kann er die Länge der Bildschirmdiagonale berechnen?'''
  
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Vervollständige nun den Satz des Thales:
 
  
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Ein Dreieck, dessen drei Punkte A, B und C auf einem _______________ liegen, und dessen Strecke AB der ______________ des Dreiecks ist, ist immer ein __________________ Dreieck.
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Schau dir die Situation auf dem Bild noch einmal genau an.  
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Welche geometrische Figur erkennst du?
  
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[[Datei:Hans.png|miniatur|zentriert]]
  
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Du hast ein rechtwinkliges Dreieck erkannt? Sehr gut!
  
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== '''Erinnerung: Rechtwinklige Dreiecke''' ==
  
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Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer '''zwei Katheten''' und '''eine Hypotenuse'''.
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Die '''Hypotenuse''' ist die längste Seite und liegt immer gegenüber vom '''rechten Winkel'''.
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Die anderen beiden Seiten sind die '''Katheten'''.
  
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[[Datei:Das rechtwinklige Dreieck.png|miniatur|zentriert]]
  
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Damit du die Abbildung besser erkennen kannst, klicke auf das Symbol mit den zwei kleinen Rechtecken am rechten unteren Rand der Abbildung.
  
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== '''Hinführung zum Satz des Pythagoras''' ==
  
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Erinnerung: rechtwinklige Dreiecke
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Hans schildert sein Problem seiner Mathelehrerin. Sie meint, er könne das Problem mit dem '''Satz des Pythagoras''' lösen.
  
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Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer zwei Katheten und eine Hypothenuse. Die Hypothenuse ist die längste Seite. Sie liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten.
 
  
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'''Frage: Was ist der Satz des Pythagoras?!'''
  
  
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In der Abbildung unten siehst du das '''rechtwinklige Dreieck ABC''' mit den '''Seiten a, b und c'''. Die Flächen <math>a^{2}</math>, <math>b^{2}</math> und <math>c_{1} ^{2}</math> wurden aus dem Quadrat der jeweiligen Seiten gebildet (z.B. Seite a: a*a = <math>a^{2}</math> = blaue Fläche). Die Flächen sind deshalb '''quadratisch'''.
  
  
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a) Bewege nun den '''Punkt C'''. Wie verändern sich die Flächen '''<math>a^{2}</math>, <math>b^{2}</math> und <math>c_{1} ^{2}</math>'''? Besprich dich mit deinem Sitznachbarn/deiner Sitznachbarin.
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2. Hinführung Satz des Pythagoras
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Das Dreieck, dass du eben schon in der Aufgabe zum Satz des Thales untersucht hast, wurde nun mit den drei Flächen <math>a^{2}</math>, <math>b^{2}</math> und <math>c_{1} ^{2}</math> ergänzt. Die Flächen wurden aus dem Quadrat der jeweiligen Seiten gebildet (z.B. Seite a: a*a = <math>a^{2}</math> = blaue Fläche). Die Flächen sind deshalb quadratisch.
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Bewege nun erneut den Punkt C und beobachte, wie sich die Flächen <math>a^{2}</math>, <math>b^{2}</math> und <math>c_{1} ^{2}</math> verändern. Besprich dich mit deinem:deiner Sitznachbar:in.  
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Haltet eure Beobachtungen schriftlich fest, indem ihr die folgenden Aussagen mit „wahr“ oder „falsch“ bewertet.
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b) Haltet eure Beobachtungen schriftlich fest, indem ihr die folgenden Aussagen mit '''„wahr“''' oder '''„falsch“''' bewertet.
  
 
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c) Gut beobachtet! Die Größe der Fläche <math>c_{1} ^{2}</math> verändert sich nicht. Beobachte nun den Wert der Fläche des grünen Quadrates (<math>b^{2}</math>) und den der Fläche des blauen Quadrates (<math>a^{2}</math>). Erkennst du einen Zusammenhang zwischen den Werten dieser beiden Flächen und dem Wert der Fläche des roten Quadrates (<math>c_{1} ^{2}</math>)?
  
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== '''Der Satz des Pythagoras''' ==
  
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3. Satz des Pythagoras
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Diese Beobachtung hat schon der Mathematiker und Philosoph '''Pythagoras von Samos''' zwischen 580 und 500 v.Chr. festgehalten!
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Gut beobachtet! Die Größe der Fläche <math>c_{1} ^{2}</math> verändert sich nicht. Du fragst dich bestimmt, woran das liegt. Eine Erklärung findest du dank des Satz des Pythagoras!
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'''Der Satz des Pythagoras:'''
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Der Satz des Pythagoras:
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In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.
 
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.
  
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Daher gilt: <math>a^{2}</math> + <math>b^{2}</math> = <math>c^{2}</math>
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Daher gilt: '''<math>a^{2}</math> + <math>b^{2}</math> = <math>c^{2}</math>'''
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Die Summe der Flächen der Katheten (in unserem Dreieck also <math>a^{2}</math> + <math>b^{2}</math>) ist also immer genauso groß, wie die Fläche der Hypotenuse (in unserem Beispiel <math>c_{1} ^{2}</math>). Ganz egal, ob <math>a^{2}</math> kleiner als <math>b^{2}</math> ist, oder andersherum.
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== '''Berechnung der Länge der Bildschirmdiagonale''' ==
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Wende nun den Satz des Pythagoras an, um die Länge der Bildschirmdiagonale von Hans' Laptop zu berechnen. Schreibe die Rechnung in dein Heft. Versuche zunächst, die Rechnung selbstständig aufzustellen. Wenn du nicht weiterkommst, darfst du die Tipps verwenden.
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== '''Übung''' ==
  
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Die Summe der Flächen der Katheten (in unserem Dreieck also <math>a^{2}</math> + <math>b^{2}</math>) ist also immer genauso groß, wie die Fläche der Hypothenuse (in unserem Beispiel <math>c_{1} ^{2}</math>). Ganz egal, ob <math>a^{2}</math> kleiner als <math>b^{2}</math> ist, oder andersherum.
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Verzaubert von der Magie des Satz des Pythagoras? Dann stürze dich in die Übungsaufgaben der [https://learningapps.org/watch?v=py90a17u524 LearningApp]! Viel Erfolg! :)

Aktuelle Version vom 16. Februar 2024, 12:40 Uhr


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Inhaltsverzeichnis

Die Länge der Bildschirmdiagonale...

Hans möchte seinen alten Laptop verkaufen. Im Verkaufsportal muss er die Länge der Bildschirmdiagonale angeben. Bisher weiß er nur, dass der Bildschirm 25cm lang und 17cm breit ist.


Frage: Wie kann er die Länge der Bildschirmdiagonale berechnen?


Schau dir die Situation auf dem Bild noch einmal genau an. Welche geometrische Figur erkennst du?

Hans.png

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck erkannt? Sehr gut!

Erinnerung: Rechtwinklige Dreiecke

Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite und liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten.

Das rechtwinklige Dreieck.png

Damit du die Abbildung besser erkennen kannst, klicke auf das Symbol mit den zwei kleinen Rechtecken am rechten unteren Rand der Abbildung.

Hinführung zum Satz des Pythagoras

Hans schildert sein Problem seiner Mathelehrerin. Sie meint, er könne das Problem mit dem Satz des Pythagoras lösen.


Frage: Was ist der Satz des Pythagoras?!


In der Abbildung unten siehst du das rechtwinklige Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c. Die Flächen a^{2}, b^{2} und c_{1} ^{2} wurden aus dem Quadrat der jeweiligen Seiten gebildet (z.B. Seite a: a*a = a^{2} = blaue Fläche). Die Flächen sind deshalb quadratisch.


a) Bewege nun den Punkt C. Wie verändern sich die Flächen a^{2}, b^{2} und c_{1} ^{2}? Besprich dich mit deinem Sitznachbarn/deiner Sitznachbarin.


b) Haltet eure Beobachtungen schriftlich fest, indem ihr die folgenden Aussagen mit „wahr“ oder „falsch“ bewertet.

Aussage wahr falsch
Wenn man den Punkt C bewegt, dann verändert sich die Größe der Fläche a^{2}.
Wenn man den Punkt C bewegt, dann verändert sich die Größe der Fläche b^{2}.
Wenn man den Punkt C bewegt, dann verändert sich die Größe der Fläche c_{1} ^{2}.


c) Gut beobachtet! Die Größe der Fläche c_{1} ^{2} verändert sich nicht. Beobachte nun den Wert der Fläche des grünen Quadrates (b^{2}) und den der Fläche des blauen Quadrates (a^{2}). Erkennst du einen Zusammenhang zwischen den Werten dieser beiden Flächen und dem Wert der Fläche des roten Quadrates (c_{1} ^{2})?

Der Satz des Pythagoras

Diese Beobachtung hat schon der Mathematiker und Philosoph Pythagoras von Samos zwischen 580 und 500 v.Chr. festgehalten!

Pythagoras 1.png

Der Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.

Daher gilt: a^{2} + b^{2} = c^{2}

Die Summe der Flächen der Katheten (in unserem Dreieck also a^{2} + b^{2}) ist also immer genauso groß, wie die Fläche der Hypotenuse (in unserem Beispiel c_{1} ^{2}). Ganz egal, ob a^{2} kleiner als b^{2} ist, oder andersherum.

Berechnung der Länge der Bildschirmdiagonale

Wende nun den Satz des Pythagoras an, um die Länge der Bildschirmdiagonale von Hans' Laptop zu berechnen. Schreibe die Rechnung in dein Heft. Versuche zunächst, die Rechnung selbstständig aufzustellen. Wenn du nicht weiterkommst, darfst du die Tipps verwenden.

Übung

Verzaubert von der Magie des Satz des Pythagoras? Dann stürze dich in die Übungsaufgaben der LearningApp! Viel Erfolg! :)

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