Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1

Aufgabe 2.1

Der Begriff Parallelogramm sei als Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten definiert. Wir betrachten die folgende Implikation (I):

(I) Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

(a) Nennen Sie die Voraussetzung und die Behauptung der Implikation (I).
(b) Bilden Sie die Umkehrung der Implikation (I).
(c) Bilden Sie die Kontraposition der Implikation (I).
(d) Beweisen Sie (I) mit den aus der Schule bekannten Sätzen.
(e) Beweisen Sie die Umkehrung der Implikation (I) mit den aus der Schule bekannten Sätzen.
(f) Definieren Sie den Begriff "Parallelogramm" neu.

Lösung Aufgabe 2.1 WS_12_13

Aufgabe 2.2

Der Satz des Pythagoras lautet:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summer der Quadrate der Kathetenlängen gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse.

(a) Formulieren Sie den Satz des Pythagoras in Wenn-Dann. (b) Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes von Pythagoras. (c) Formulieren Sie die Kontraposition des Satzes von Pythagoras. (d) Auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist wahr. Formulieren Sie ein Kriterium dafür, dass ein Dreieck rechtwinklig ist. (e) Definieren Sie den Begriff des rechtwinkligen Dreiecks mittels des Kriteriums aus Teilaufgabe (d).