SoSe 2018 Lösung von Aufgabe 6.01

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Aufgabe 6.01

In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade AB^+ wie folgt:
AB^+:=\overline{AB}\cup\left\{P|P\in AB \wedge |AP|> |BP|\right\}
In der Vorlesung wurde wie folgt definiert:
AB^+:=\overline{AB} \cup \left\{P|\operatorname{Zw}(A,B,P)\right\} Beweisen Sie:

  1. Definition V \Rightarrow Definition Ü
  2. Definition Ü \Rightarrow Definition V

Lösung 1

Behauptung: Def V <=> Def Ü

zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen Strecke AB ist größer als Strecke AP

Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST)

Hier ist Luft nach oben. Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V. Dazu sind zwei Beweise zu führen.

Beweis 1

Wenn P ein Punkt des Strahls AB^+ nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls AB^+ nach Def V. Sei P ein Punkt von AB^+ nach Def Ü.
In diesem Fall gilt:
Entweder ist P ein Punkt der Strecke \overline{AB} oder es gilt P \in AB und \vert BP \vert < \vert AP \vert .