Strecken

Strecken

Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut: kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

Die Idee der Längenmessung

Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Axiom II/2:

Für zwei beliebige Punkte A und B gilt |AB|=|BA|.

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände und Streckenlängen sind offenbar Zahlen. Unter Berücksichtigung unserer bisherigen Erfahrungen aus der Schule wird es sich dabei um reelle Zahlen handeln.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das Begründen genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Im Kontext der Dreieckskonstruktionsaufgaben nach SSS bedeutet das, dass die Schüler auch solche Seitenlängen vorgegeben bekommen, die es nicht erlauben, ein entsprechendes Dreieck zu konstruieren.

Im Folgenden sind beispielhaft die zwei Klassen von Konstruktionsaufgaben dargestellt, die sich bezüglich der Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:

1. gegeben: a=3 cm, b=4 cm, c=5 cm
2. gegeben: a=3 cm, b=2 cm, c=5 cm oder auch a=2 cm, b=2 cm, c=5 cm

Aufgabe: Beschreiben Sie prinzipiell diese beiden Konstruktionstypen und welche Begründungen Sie bezüglich des Typs zwei von den Schülern erwarten.

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \leq \left| AC \right|.$

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$

$\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$

$\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$, $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Definitionen und Sätze

Definition II.1: (Zwischenrelation)

Ein Punkt B liegt zwischen zwei Punkten A und C, wenn gilt und der Punkt B sowohl von A als auch von B verschieden ist.

Schreibweise: Zw(A, B, C)

Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:

Satz II.1:

Aus Zw(A, B, C) folgt Zw(C, B, A).

Satz II.2:

Aus Zw(A, B, C) folgt koll(A, B, C).

Satz II.3:

Es sei koll(A, B, C) mit A, B, C sind paarweise verschieden. Dann gilt Zw(A, B, C) oder Zw(A, C, B) oder Zw(B, A, C)

Satz II.4:

Es sei O ein Punkt einer Geraden g. Die Teilmengen OA⁺, OA^- und{O} bilden eine Klasseneinteilung der Geraden g.