Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
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− | == Der Mittelpunkt einer Strecke | + | <div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;"> |
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+ | = Der Mittelpunkt einer Strecke= | ||
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat. | Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat. | ||
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− | + | == Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) == | |
− | + | {{Definition|Mittelpunkt einer Strecke <br />Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so heißt <math>M</math> Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>}} | |
− | + | = Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) = | |
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. | ::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt. | ||
− | + | === Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke === | |
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt. | :: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt. | ||
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|} | |} | ||
− | + | =Das Axiom vom Lineal = | |
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen. | Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen. | ||
− | + | ==Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) == | |
::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat. | ::Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat. | ||
Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal. | Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal. | ||
− | + | = Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke,<br /> Beweis von Satz III.1 = | |
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | ||
− | + | ||
noch einmal der Satz: | noch einmal der Satz: | ||
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ||
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# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | # Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | ||
− | + | ==Der Existenzbeweis == | |
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | :Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | ||
:::<u>Behauptung:</u><br /> | :::<u>Behauptung:</u><br /> | ||
Zeile 57: | Zeile 62: | ||
{| class="wikitable center" | {| class="wikitable center" | ||
− | |+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt. | + | |+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt. |
|- style="background: #DDFFDD;" | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
! | ! | ||
Zeile 98: | Zeile 103: | ||
<br /> | <br /> | ||
− | + | == Der Eindeutigkeitsbeweis == | |
Übungsaufgabe<br /> | Übungsaufgabe<br /> | ||
− | :Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ | + | :Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1 </math> und <math>\ M_2 </math>. |
− | <br /> | + | <br />den ersten Schritt kann man doch mit dem ersten Abstandsaxiom begründen. |
+ | |||
+ | <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | ||
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+ | [[Category:Einführung_S]] |