Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
*m.g.* (Diskussion | Beiträge) (→Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke, Beweis von Satz III.1) |
(→Der Eindeutigkeitsbeweis) |
||
(3 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 10: | Zeile 10: | ||
== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) == | == Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) == | ||
− | {{Definition|Mittelpunkt einer Strecke <br />Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils und denselben Abstand hat, so heißt <math>M</math> Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>}} | + | {{Definition|Mittelpunkt einer Strecke <br />Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so heißt <math>M</math> Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>}} |
= Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) = | = Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) = | ||
Zeile 42: | Zeile 42: | ||
= Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke,<br /> Beweis von Satz III.1 = | = Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke,<br /> Beweis von Satz III.1 = | ||
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen. | ||
− | + | ||
noch einmal der Satz: | noch einmal der Satz: | ||
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. | ||
Zeile 51: | Zeile 51: | ||
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | # Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt.<br />(Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.) | ||
− | + | ==Der Existenzbeweis == | |
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | :Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke | ||
:::<u>Behauptung:</u><br /> | :::<u>Behauptung:</u><br /> | ||
Zeile 103: | Zeile 103: | ||
<br /> | <br /> | ||
− | + | == Der Eindeutigkeitsbeweis == | |
Übungsaufgabe<br /> | Übungsaufgabe<br /> | ||
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1 </math> und <math>\ M_2 </math>. | :Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1 </math> und <math>\ M_2 </math>. | ||
− | <br /> | + | <br />den ersten Schritt kann man doch mit dem ersten Abstandsaxiom begründen. |
<!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | <!--- Das, was hier drunter steht muss stehen bleiben, also oberhalb dieses Kommentars Änderungen einfügen ---> | ||
Zeile 112: | Zeile 112: | ||
</div> | </div> | ||
− | + | ||
[[Category:Einführung_S]] | [[Category:Einführung_S]] |