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Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung  (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat?
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(Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles bedacht habe, vielleicht kann noch jemand was dazu sagen/korrigieren. Warum bei der Tabelle über der Spaltenbeschriftung noch 1. und 2. steht ist mir auch schleierhaft.) [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)
  
 
==Aufgabe 3.5==
 
==Aufgabe 3.5==

Version vom 10. November 2011, 13:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 3.1

(alles in ein und derselben Ebene) Es sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r. Ferner sei g eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei Z der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in M auf g mit k. Wir definieren eine Abbildung \varphi von k\setminus_Z auf g: \forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g. Ist \varphi fixpunktfrei?

Aufgabe 3.2

Es sei X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}. Wir definieren auf X die folgende Abbildung \varphi: \forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x). Jedes Element des \mathbb{R}^2 fassen wir als Punkt auf. Hat \varphi Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)

Aufgabe 3.3

Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms B mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel P hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten \left(x_p, y_p\right). Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms B die folgende Abbildung \varphi: \forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass \varphi einen Fixpunkt hat?

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie: wenn eine Bewegung \varphi zwei verschiedene Fixpunkte A und B hat, dann hat ist die Gerade AB eine Fixpunktgerade bezüglich \varphi.


VSS: Es exisitert eine Bewegung \varphi mit den Fixpunkten A und B. Beh.: AB ist Fixpunktgerade bezüglich \varphi.

oBdA: Es sei ein Punkt P: Zw(A,P,B)

1 2
Nr. Beschreibung des Schrittes Begründung der Korrektheit des Schrittes
1. |AP|+|PB|=|AB| gilt, wegen der Relation zwischen.
2. |A'P'|+|P'B'|=|A'B'| Relation zwischen bleibt nach der Ausführung der Bewegung erhalten.
3. |PP'|= 0 --> P=P' folgt aus (1.) und (2.) und der Vss, dass A und B Fixpunkte sind.

Deshalb wird auch Punkt P bei der Bewegung auf sich selbst abgebildet.

(Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles bedacht habe, vielleicht kann noch jemand was dazu sagen/korrigieren. Warum bei der Tabelle über der Spaltenbeschriftung noch 1. und 2. steht ist mir auch schleierhaft.) Pipi Langsocke 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 3.5

Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte A,B,C Fixpunkte der Bewegung \varphi sind, so ist \varphi die identische Abbildung.

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