Lösung von Aufgabe 2.7 SoSe 2018

Aufgabe 2.6 SoSe 2018 Wir setzen den Innenwinkelsatz für Dreiecke und den Nebenwinkelsatz als bewiesen voraus. Satz: (starker Außenwinkelsatz) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. a) Formulieren Sie den starken Außenwinkelatz in Wenn-Dann-Form. b) Formulieren Sie die Voraussetzung und die Behauptung des starken Außenwinkelsatzes unter Verwendung der Bezeichnungen in der folgenden Skizze: c) Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz. Lösung Teilaufgabe a) Wenn ein Winkel $~\beta '$ ein Außenwinkel eines Dreiecks $\overline{ABC}$ ist, dann ist seine Größe gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel von $\overline{ABC}$, die keine Nebenwinkel zu $~\beta '$ sind. Teilaufgabe b) Voraussetzung $~\beta'$ ist Außenwinkel von $\overline{ABC}$. Behauptung $\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert$ Teilaufgabe c) $\begin{matrix} \text{Nr.} & \text{Beweisschritt} & \text{Begründung des Beweisschrittes} \\ (1) & \beta' \text{ und } \beta \text{ sind Nebenwinkel.} & \text{Voraussetzung, Definition Außenwinkel} \\ (2) & \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert = 180^\circ & \text{ (1), Nebenwinkelsatz} \\ (3) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = 180^\circ & \text{Innenwinkelsatz für Dreiecke} \\ (4) & \vert \alpha \vert + \vert \beta \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta \vert + \vert \beta' \vert & \text{(2), (3)} \\ (5) & \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta' \vert & \text{(4), q.e.d.} \\ \end{matrix}$ Behauptung $\vert \beta' \vert = \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert$