Lösung von Aufgabe 3.4 WS 12 13

Aufgabe 3.4

Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:

Satz (*): Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Wenn die Winkelpaare $\angle BAC$ und $\angle PCA$ bzw. $\angle ABC$ und $\angle QCB$ jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind,
dann gehören die Punkte $P, C$ und $Q$ ein und derselben Geraden an.

Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).

Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:

Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden $a$ und $b$ durch eine dritte Gerade $c$ kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind $a$ und $b$ zueinander parallel.
Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt $P$ außerhalb der Geraden $g$ gibt es höchsten eine Parallele zu $g$ .