Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13

Aufgabe 6.07 Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: Wenn $C \in \ AB^{+}$ und $\left| AB \right| < \left| AC \right|$ dann gilt $\operatorname Zw (A, B, C)$ Lösung User --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) z.z.: $C\in \ AB^{+} \wedge \left| AB \right| < \left| AC \right| \Rightarrow Zw(A,B,C)$ 1.Voraussetzung: $C\in \ AB^{+}$ 2.Voraussetzung: $\left| AB \right| < \left| AC \right|$ (*) Behauptung: Zw(A,B,C) Beweis: $C\in \ AB^{+}$ $\Rightarrow$ Zw(A,B,C) $\vee$ Zw(A,C,B) [s. Def. Halbgerade] nun z.z.: $\neg Zw(A,C,B)$ Annahme: Zw(A,C,B) $\Leftrightarrow$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|$ (**) (s. Axiom II.2) aus (*) und (**) folgt: $\left| AB \right| < \left| AC \right| \Leftrightarrow \left| AC \right| + \left| BC \right| <\left| AC \right| \Leftrightarrow \left| BC \right| < 0 \Rightarrow$ Widerspruch zu Axiom II.1 (Der Abstand zwei beliebiger Punkte ist nie negativ.) Daher gilt: Zw(A,B,C) q.e.d. --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) Lösung User ... Lösung User ... zurück zu Serie 6 SoSe 2013