Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 12)

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

Manchmal kommt man nicht weiter, weil man nicht weiß wie es losgehen soll. Deshalb fange ich hier mal an. Diese Struktur kann auch für die anderen Aufgaben genutzt werden.(z.B. kopieren, um die Formelschreibweise auf einer anderen Seite zu nutzen)--Tutorin Anne 13:03, 21. Jun. 2012 (CEST)

Voraussetzung	Geradenspiegelung an g $Sg$ mit $A'= Sg (A)$ und $B' = Sg (B)$ und $P \in AB^{+}$
Behauptung	$Sg (AB+) = A'B'^{+}$ d.h. $P' \in A'B'^{+}$

Es muss also gezeigt werden, dass das Bild $P'$ eines beliebigen Punkts $P$ der Halbgerade auch auf dem Bilder der Halbgeraden liegt.

Beweisschritt	Begründung
1 $P \in AB^{+}$	(Begründung 1)
2 (Schritt 2)	(Begründung 2)
3 (Schritt)	(Begründung)
4 (Schritt)	(Begründung)

Versuch von Zitrone

Beweisschritt	Begründung
1 $P \in AB^{+}$	Voraussetzung
2 Zw(ABP) $\wedge$ Zw (APB)	(1), Def. Zw., Def. Halbgerade
3 $\left| AB \right| + \left| BP \right| = \left| AP \right| \wedge \left| AP \right| + \left| PB \right| = \left| AB \right|$	(2), Def. koll
4 $\left| A'B' \right| + \left| B'P' \right| = \left| A'P' \right| \wedge \left| A'P' \right| + \left| P'B' \right| = \left| A'B' \right|$	(3), Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
5 Zw(A'B'P') $\wedge$ Zw(A'P'B')	(4), Def. Zw
6 P$\in$A'B'+	(5)

--Zitrone 12:50, 24. Jun. 2012 (CEST)

ich glaube, bei 2, 4 und 5 müsste ein "oder" statt des "und"-zeichens stehen, oder?--Studentin 00:53, 26. Jun. 2012 (CEST)
Richtig, es muss oder heißen. Sonst aber schon gut, nur dass deine Definition der Halbgeraden nicht ganz vollständig ist >siehe Honeydukes Vorschlag.--Tutorin Anne 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST)

Idee PippiLotta

Habe das etwas anders gemacht und zwar bin ich gleich am Anfang auf die Definition Halbgerade AB+ und dann auf die Spiegelung von A und B eingegangen und habe dann die Definition der Halbgerade A´B´+ erstellt. Dadurch wäre es dann klar, das P´$\in$ A´B´+ ist. Geht das so auch? --PippiLotta 13:48, 25. Jun. 2012 (CEST)
Da bin ich mir nicht so sicher. Das müsste ich genau mit Begründungen sehen. --Tutorin Anne 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST)

Vorschlag Studentin

mein vorschlag (von dem ich nicht weiß, wie ich ihn verständlich niederschreiben soll):
der punkt p soll ja element der halbgeraden ab+ sein (laut vorraussetzung)
da wir die streckentreue nutzen sollen, würde ich ab+ in folgende zwei strecken teilen:
1. p ist also element der strecke ab oder 2. für p gilt, dass die strecke ap b als element hat
damit habe ich laut halbgeradendef. die halbgerade in zwei strecken geteilt, von denen ich weiß, dass sie streckentreu abgebildet werden.
der gespiegelte punkt p' ist also element der beiden gespiegelten strecken.
dann wieder der schritt zurüch zur halbgeraden: die beiden gespiegelten strecken kann man wieder lt halbgeradendef. als halbgerade' (a'b'+) zusammenfassen.
eigentlich nicht wirklich was anderes als zitrone oder honeydukes idee, nur dass ich nicht (wörtlich) die zw.-rel. genutzt habe, sondern das element, dass zwischen den beiden punkten steht als element der strecke aufgefasst habe.
(bin gespannt, ob mich jmd. versteht...) --Studentin 01:24, 26. Jun. 2012 (CEST)
Das ist genauso richtig, denn es gibt eben verschiedene Möglichkeiten die Halbgerade zu definieren.--Tutorin Anne 11:52, 26. Jun. 2012 (CEST)

Vorschlag Honeydukes

Ich habe es so gemacht:

Ich muss zeigen, dass P Element von A´B`+ ist. Zuerst habe ich AB+ definiert AB+: {P für die gilt: Zw(ABP)} und {P für die gilt: Zw (APB)} und {A,B}.

Wir hätten dann vier Fälle:

1) P=A

2) P=B

3) Zw(APB)

4) Zw (ABP)

1), 2) und 3) haben wir schon bewiesen: Streckentreue (Ich denke es ist wichtig, entweder die drei Beweise zu führen, oder sich auf die Streckentreue zu berufen!) Bleibt also noch der Beweis zu 4), der geht dann ähnlich dem von 3).

--Honeydukes 14:35, 25. Jun. 2012 (CEST)
3)und 4) lässt sich z.B. wie es User Zitrone gemacht hat, beweisen.--Tutorin Anne 11:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

Wo kann ich die Definition Geradenspiegelung finden, wenn wir sie doch immer bei den Begründungen benutzen?--Geogeogeo 10:34, 28. Jun. 2012 (CEST)

schau mal hier unter "Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung LaTeX: S_g)": http://wikis.zum.de/geowiki/Die_Geradenspiegelung_und_Ihre_Eigenschaften_SoSe_12 --fahrtwind 10:34, 28. Jun. 2012 (CEST)
Danke, fahrtwind!