Lösung von Aufgabe 9.5P (SoSe 18)
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m sei Mittelsenkrechte der Strecke . Beweisen Sie durch Kontraposition:
Tipp: Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung.
Hinweis: Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen.
Kontraposition: Strecke AP ist nicht = Strecke BP impliziert P ist nicht element von m
Voraussetzung:
Ein Punkt der auf der Gerade m liegt heißt D.
Es gibt einen Punkt C der in der Halbebene von A liegt und nicht m schneidet. Zudem ist die Strecke AC die längste und länger als AD.
Beweisschritt | Begründung |
---|---|
1) AD = BD und AD + BD = AB | Mittelsenkrechtenkriterium; Voraussetzung; Mathematische Gesetzte |
2) D ist nicht gleich P | Kontraposition |
3) AP ist nicht = BP impliziert AP >/< BP | 1); 2) |
4) AP und AC schneiden nicht M | Voraussetzung, 3) |
5) Wenn AP und AC M nicht schneiden, dann schneidet PC M auch nicht. | Satz von Pasch; 4) |
6) AC länger/gleich AP + AC & als AD | Voraussetzung; Dreiecksungleichung |
7) AP < BP | 5); 6) |
8) P ist nicht Element von m | 7), Mittelsenkrechtenkriterium |
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