Serie 4: größere LSG lösen SoSe 2018

Aufgabe 4.1 SoSe 2018 Es seien $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ drei Ebenen im $\mathbb{R}^3$, die genau den Punkt $S=(\pi,e,\sqrt{2})$ gemeinsam haben. Ferner gelte: $\varepsilon_x$ ist parallel zur $y-z-$Ebene, $\varepsilon_y$ ist parallel zur $x-z-$Ebene, $\varepsilon_z$ ist parallel zur $x-y-$Ebene. Beschreiben Sie die drei Ebenen $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ mittels Gleichungen vom Typ $ax+by+cz=d$. Aufgabe 4.2 SoSe 2018 Geben Sie ein lineares Gleichungssystem vom Typ $\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \\ a_{31}x &+& a_{32}y &+& a_{33}z &=& b_3 \end{matrix}$ an, bei dem keiner der Koeffizienten Null ist und das die Lösungsmenge $L=\{(\pi,e,\sqrt{2})\}$ hat. Aufgabe 4.3 SoSe 2018 Beschreiben Sie die Gerade $g:=\{P \vert P=A+t \overrightarrow{r}, t \in \mathbb{R} \}$ für $\overrightarrow{r}:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $A:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ als Lösungsmenge eines Gleichungssystems vom Typ $\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \end{matrix}$. Aufgabe 4.5 SoSe 2018 Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen: $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & \vert & 2 \\ 3 & 5 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 4 & \vert & 3 \end{pmatrix}$ Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge: $\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -3 \\ ~ & 1 & ~ & \vert & 4 \\ ~ & ~& 1 & \vert & -\frac{7}{4} \end{pmatrix}$ Aufgabe 4.6 SoSe 2018 Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen: $\begin{pmatrix} 15 & 3 & 7 & \vert & 10 \\ -4 & -10 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 2 & \vert & 11 \end{pmatrix}$ Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge: $\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -\frac{111}{88} \\ ~ & 1 & ~ & \vert & \frac{3}{2} \\ ~ & ~& 1 & \vert & \frac{307}{88} \end{pmatrix}$ Aufgabe 4.7 SoSe 2018 Gegeben seien die folgenden Punkte $A,B,C,D,E,F,H$: $\begin{matrix} A &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} B &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} C &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} D &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ E &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} F &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} G &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} H &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{matrix}$ Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten $A,B,C,D,E,F,G,H$. (a) Beschreiben Sie die Flächen dieses Würfels mittels Gleichungen vom Typ $ax+by+cz=d$. (b) Beschreiben Sie die Geraden, die durch die Kanten des Würfels eindeutig bestimmt sind als Lösungsmenge jeweils eines Gleichungssystems. Aufgabe 4.8 SoSe 2018 Wir drehen den Würfel aus Aufgabe 4.7 um die $z-$Achse mit einem Drehwinkel von $45^\circ$ mathematisch positiv. Dabei werden die Eckpunkte unseres Würfels auf ihre Bilder $A',B',C',D',E',F',G',H'$ abgebildet. Geben Sie ein LGS an, das die Koordinaten des Punktes $D'$ und nur die Koordinaten des Punktes $D'$ als Lösungsmenge hat. Aufgabe 4.9 SoSe 2018 Wir drehen den gedrehten Würfel aus Aufgabe 4.8 um die $y-$Achse mit einem Drehwinkel von $45^\circ$ in mathematisch postivem Drehsinn. Die Punkte $A',B',C',D',E',F',G',H'$ werden jetzt auf die Punkte $A'',B'',C'',D'',E'',F'',G'',H''$ abgebildet. Bestimmen Sie eine Gleichung der Form $ax+by+cz=d$ zur Beschreibung des Bildes der Grundfläche $\overline{A'',B'',C'',D''}$ unseres Würfels. Aufgabe 4.10 SoSe 2018 Oberstudienrat Kramer gibt seiner 13a die drei Ebenen $\alpha, \beta, \gamma$ vor, wobei gelte $\alpha \cap \beta \cap \gamma = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right \}$. Ferner gibt Oberstudienrat Kramer die folgenden Normalenvektoren der Ebenen vor: $\overrightarrow{n}_\alpha=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{n}_\beta=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{n}_\gamma=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ Lisa meint, dass das Blödsinn wäre. Hat sie recht oder will sie Oberstudienrat Kramer nur provozieren?