Das Problem mit dem Beispiel zur linearen Unabhängigkeit der Zeilen der Koeffizientenmatrix vom 18. Mai: Unterschied zwischen den Versionen

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&2& \overrightarrow{z_3} & = & 5 &  \overrightarrow{z_2} &-& 3 &\overrightarrow{z_1} \\
 
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Version vom 31. Mai 2018, 12:56 Uhr

Die Koeffizientenmatrix

So ist es, wenn man sich schnell in der Vorlesung ein Gleichungssystem einfallen lässt.
Zur Erinnerung: an der Tafel entstand spontan eine Koeffizientenmatrix vom folgenden Typ:
M:= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} Wir wollten den Rang (die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen) dieser Matrix bestimmen und waren zunächst davon überzeugt, dass diese spezielle Wahl darauf hinaus laufen müsste, dass alle die Zeilen der Matrix M linear unabhängig sein würden und unsere Matrix damit den Rang 3 haben würde. Völlig erstaunt waren wir als wir konstatieren mussten, dass die dritte Zeile eine Linearkombination der ersten beiden Zeilen ist. Natürlich kann man den Algorithmus zur Generierung der Diagonalenform der Matrix anwenden, so wie wir es taten. Mehr Überzeugungskraft hat jedoch die Betrachtung des Schemas, wie die Matrix M entsteht:
\overrightarrow{z_1}=\begin{pmatrix} 1 &\vert& 2 &\vert& 3\end{pmatrix}
\overrightarrow{z_2}=\begin{pmatrix} 4 &\vert& 5 &\vert& 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &\vert& 2 &\vert& 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &\vert& 3 &\vert& 3\end{pmatrix}
\overrightarrow{z_3}=\begin{pmatrix} 7 &\vert& 8 &\vert& 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &\vert& 2 &\vert& 3\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 3 &\vert& 3 &\vert& 3\end{pmatrix}
Den Zeilenvektor \begin{pmatrix} 3 &\vert& 3 &\vert& 3\end{pmatrix} bezeichnen wir kurz mit \overrightarrow{3}.
Damit können wir M wie folgt schreiben: M=\begin{pmatrix} \overrightarrow{z_1} & ~ & ~ \\ \overrightarrow{z_1} &+ \overrightarrow{3} & ~\\ \overrightarrow{z_1} &+ \overrightarrow{3} &+ \overrightarrow{3} \end{pmatrix}.
Jetzt sieht man leicht, dass \overrightarrow{z_3} eine Linearkombination von \overrightarrow{z_1} und \overrightarrow{z_2} ist:

2\overrightarrow{z_2}= 2(\overrightarrow{z_1}+\overrightarrow{3})=2\overrightarrow{z_1}+2\overrightarrow{3}
\overrightarrow{z_3}=\overrightarrow{z_1}+2\overrightarrow{3}=2\overrightarrow{z_2}-\overrightarrow{z_1}=2\overrightarrow{z_1}+2\overrightarrow{3}-\overrightarrow{z_1}=\overrightarrow{z_1}+2\overrightarrow{3}=\begin{pmatrix} 1 &\vert& 2 &\vert& 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &\vert& 3 &\vert& 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &\vert& 3 &\vert& 3\end{pmatrix}.

M:= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} war die Matrix, die ich eigentlich an die Tafel bringen wollte. Stattdessen schrieb ich M_2:= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} . Der Beweis für M_2 funktioniert analog. Überzeugen Sie sich davon. Viel Spaß dabei --*m.g.* (Diskussion) 15:55, 24. Mai 2018 (CEST)

Die Matrix aus der Vorlesung

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}
\overrightarrow{z_1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
\overrightarrow{z_2}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}= \overrightarrow{z_1} + \overrightarrow{2}
\overrightarrow{z_3}= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}= \overrightarrow{z_2} + \overrightarrow{3} = \overrightarrow{z_1} + \overrightarrow{2}+ \overrightarrow{3}
5 \cdot \overrightarrow{z_2} = 5 \cdot \left ( \overrightarrow{z_1} + \overrightarrow{2} \right )= 5 \overrightarrow{z_1} + 5\overrightarrow{2}= 5 \overrightarrow{z_1} + \begin{pmatrix} 10 & 10 & 10 \end{pmatrix} = 5 \overrightarrow{z_1} + 2 \cdot \left ( \overrightarrow{2} + \overrightarrow{3} \right )
5 \overrightarrow{z_2} - 3 \overrightarrow{z_1} = 5 \overrightarrow{z_1} + 2 \cdot \left ( \overrightarrow{2} + \overrightarrow{3} \right ) - 3 \overrightarrow{z_1} = 2 \overrightarrow{z_1} + 2 \left ( \overrightarrow{2} + \overrightarrow{3} \right )= 2 \left ( \overrightarrow{z_1} + \overrightarrow{2} + \overrightarrow{3} \right )= 2 \overrightarrow{z_3}

Also:
\begin{matrix} &2& \overrightarrow{z_3} & = & 5 & \overrightarrow{z_2} &-& 3 &\overrightarrow{z_1} \\ &~& \overrightarrow{z_3} & = & \frac{5}{2} & \overrightarrow{z_2} &-& \frac{3}{2} &\overrightarrow{z_1} \\ \end{matrix}

\overrightarrow{z_3} ist damit eine Linearkombination der Vektoren \overrightarrow{z_1} und \overrightarrow{z_2}.

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