Serie 2 Untergruppen SoSe 2017

Serie 2 Untergruppen SoSe 2017 Aufgabe 2.1 Es seien $[G, \odot]$ und $[U,\otimes]$ zwei Gruppen mit $U \subset G$. Warum ist $[U,\otimes]$ keine Untergruppe von $[G, \odot]$? Aufgabe 2.2 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie: $e$ gehört zu jeder Untergruppe von $G$. Aufgabe 2.3 Es sei $[U, \otimes]$ eine Untergruppe von $[G, \otimes]$ nach Definition 6. Beweisen Sie: (I) $\forall a, b \in U: a \otimes b \in U$, (II) $\forall a \in U: a^{-1} \in U$. Aufgabe 2.4 Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe und $U$ eine nichtleere Teilmenge von $G$. Beweisen Sie: Wenn (I) $\forall a, b \in U: a \otimes b \in U$ und (II) $\forall a \in U: a^{-1} \in U$ dann ist $[U, \otimes]$ eine Untergruppe von $[g, \otimes]$ entsprechend Definition 6. Aufgabe 2.5 Beweisen Sie Satz 3. Aufgabe 2.6 Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe und $g \in G$ mit $|g|=n$. $U$ sei die Menge aller Potenzen $g^i$ mit $0<j\leq n$. Beweisen Sie: $[U, \otimes]$ ist Untergruppe von $[G,\otimes]$.