Übungen 06

Aufgabe 1

Gegeben sind ein Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$ und Vektoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\in V$.
Welche der Aussagen sind richtig? Geben Sie Begrünudngen oder Gegenbeispiele an.

a) Gehören $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ nicht zu $U$, so ist auch $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in ̸V$.

b) Gehören $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ nicht zu $U$, so ist auch $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in V$.

c) Gehört $\overrightarrow{u}$ zu U, nicht aber $\overrightarrow{v}$, so ist $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in ̸V$.

Aufgabe 2

Geben Sie bei folgenden Teilmengen des Vektorraums ${\mathbb{ℝ}}^3$ an, ob Sie Unterräume sind; begründen Sie Ihre Aussagen!

a) $U_1:=\{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^3|v_1+v_2=2\}$

b) $U_2:=\{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^3|v_1+v_2=v_3\}$

c) $U_3:=\{\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right))\in {\mathbb{ℝ}}^3|v_1\cdot v_2=v_3\}$

Aufgabe 3

Begründen Sie, dass Lösungsmengen inhomogener Gleichungssysteme keine Unterräume sind.

Aufgabe 4

Weisen Sie nach, dass die Menge aller 2x2 Matrizen der Form $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ mir $a,b\in \mathbb{ℝ}$ und den in der Vorlesung verwendeten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ ein Unterraum aller Matrizen der Form $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ ist.