Benutzer:Andreas

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Spiegelung_Test
Prinzip des Cavalieri und Volumen Kugel

Satz: Jede Drehung $D_{Z,\beta }$ ist eine Bewegung.

Beweis

Voraussetzung: Drehung D um Punkt Z mit dem Winkel $\beta$
Behauptung: |PQ|=|P'Q'|

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline{ZP}\widetilde{=}\overline{Z{P}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
2) $\overline{ZQ}\widetilde{=}\overline{Z{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
3) $\mathrm{\angle }PZ{P}^{\prime }\widetilde{=}\mathrm{\angle }QZ{Q}^{\prime }$	folgt unmittelbar aus der Definition: (Drehung)
4) $|{\alpha }^{\prime }|=|{\beta }^{\prime }|+|\alpha -\beta |$ $|{\alpha }^{\prime }|=|\alpha |$	rechnen in den reellen Zahlen, folgt aus Schritt 3, da $\beta =\mathrm{\angle }PZ{P}^{\prime }$ und ${\beta }^{\prime }=\mathrm{\angle }QZ{Q}^{\prime }$
5) $\mathrm{△}ZPQ\widetilde{=}\mathrm{△}Z{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$	folgt aus den Schritten 1-4, sws
6) $\overline{PQ}\widetilde{=}\overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$	folgt aus Schritt 5
7) $|PQ|=|P^{\prime }{Q}^{\prime }|$	folgt aus Schritt 6, q.e.d

--Andreas 14:22, 9. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Wenn eine Bewegung $\varphi$ genau einen Fixpunkt Z hat, dann ist $\varphi$ eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Beweis

Voraussetzung: $\varphi$ ist eine Bewegung, $\varphi$ hat genau eine Fixpunkt Z
Behauptung: $\beta \cong {\beta }^{\prime }$

Beweisschritt	Begründung
1. $P\ne P^{\prime },Q\ne Q^{\prime }$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung (genau ein Fixpunkt Z)
2. $\overline{ZP}\cong \overline{Z{P}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
3. $\overline{ZQ}\cong \overline{Z{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
4. $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Voraussetzung bzw. der Def. Bewegung (Bewegung ist abstandserhaltend)
5. $\mathrm{△}ZPQ\cong \mathrm{△}Z{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$	sss, folgt aus den Schritten 2-4
6. $\alpha \cong {\alpha }^{\prime }$ $|\alpha |=|{\alpha }^{\prime }|$	folgt aus Schritt 5
7.$|{\beta }^{\prime }|=|{\alpha }^{\prime }|+|\beta |-|\alpha |$ $|{\beta }^{\prime }|=|\beta |$ ${\beta }^{\prime }\cong \beta$	rechnen in den reellen Zahlen, Schritt 6

--Andreas 15:13, 11. Nov. 2010 (UTC)