Benutzer:Gnamo54

Satz: $\sqrt{2}$ ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist rational, a,b $\in$ $\mathbb{\mathbb{N}}$, a und b sind teilerfremd

$\sqrt{2}$= $\frac{a}{b}$

$\iff$ $2$ = $\frac{a^2}{b^2}$

$\iff$ $2b^2$ = $a^2$

$\Rightarrow$ $2$ $|$ $a^2$

$\Rightarrow$ $2$ $|$ $a$

$\Rightarrow$ $a$ = $2c$, mit $c$ $\in$$\mathbb{\mathbb{N}}$

$\Rightarrow$ $2b^2$ = $(2c{)}^2$

$\iff$ $2b^2$ = $4c^2$

$\iff$ $b^2$ = $2c^2$

$\Rightarrow$ $2$ $|$ $b^2$

$\Rightarrow$ $2$ $|$ $b$

$\to$ Widerspruch zur Annahme, dass a und b teilerfremd sind