Erzeugendensystem 2012 13

Beispiel 1 Experimentieren Sie: Wann ist die Menge Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left{\vec{a}, \vec{b}\right}} ein Erzeugendensystem für den ${\mathbb{ℝ}}^2$ bzw. für die Menge aller Pfeilklassen der Ebene. (Strg+f frischt den Bildschirm auf) Beispiel 2 Erzeugendensystem, Basis und Hülle Def.(lineare Hülle) Lineare Hülle der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ ist die Menge der Linearkombinationen von $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ Das bedeutet, die lineare Hülle der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ enthält alle Vektoren, die man mithilfe der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ darstellen kann. Def.(Erzeugendensystem) Eine Menge von Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ ist ein Erzeugendensystem enes Vektorraumes V, wenn V eine Teilmenge der linearen Hülle von $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ ist. Das heißt, wenn man mit den Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ alle Vektoren des Vektorraumes V darstellen kann ist die Menge der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ ein Erzeugendensystem von V. Die Menge der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},...,\overrightarrow{a_n}$ kann linear abhängig sein. Def.(Basis) B ist eine Basis, wenn B ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig. Daraus folgt, dass eine Basis eines Vektorraumes V ein minimales Erzeugendensystem ist.