Lösung von Aufgabe 2.4 (SoSe 12 P)

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach).
b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)?

1. $a\Vert |b\Rightarrow \alpha \widetilde{=}\beta$
2. $\alpha \widetilde{=}\beta \Rightarrow a\Vert |b$
3. $\Vert \alpha \Vert =\Vert \beta \Vert \Rightarrow \mathrm{\exists }S:S\in a\wedge S\in b$
4. $a\Vert |b\iff \alpha \widetilde{=}\beta$

a)
zwei nichtidentische geraden a und b werden von einer dritten geraden geschnitten.
wenn die geraden a und b parallel zueinander sind, so sind die dabei entstandenen stufenwinkel Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \alpha \} und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \beta \} kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

b)
1. ist der stufenwinkelsatz:
formal: $A\Rightarrow B$
kurzfassung: wenn a und b parallel, dann stufenwinkel kongruente zueinander--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

2. umkehrung des stufenwinkelsatzes:
formal:$B\Rightarrow A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel kongruent zueinander, dann a und b parallel--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

3. kontraposition:
formal: $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
kurzfassung: wenn stufenwinkel nicht kongruent zueinander, dann existiert ein schnittpunkt (a und b nicht parallel)--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

4. da 1. (der satz) und 2. (seine umkehrung) wahr sind,
kann man formal schreiben: $A\iff B$
kurzfassung:a und b parallel genau dann, wenn stufenwinkel kongruent zueinander.--Studentin 00:29, 25. Apr. 2012 (CEST)

Interessante Beiträge, User Studentin! Danke. Frage an alle aus b): Welche der Aussagen sind nun äquivalent?--Tutorin Anne 11:18, 28. Apr. 2012 (CEST)

ich würde sagen, äquivalent sind 1 und 3: der stufenwinkelsatz und seine kontraposition:$A\Rightarrow B$ $\iff$ $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$--Studentin 13:25, 28. Apr. 2012 (CEST)

Was die Lösungen der Aufgaben angeht, so habe ich es ganz ähnlich.
@Studentin: Aber wenn 1. äquivalent ist, dann muss doch auch 2. äquivalent sein, oder? (Bilden nicht Aufgabe b1 UND Aufgabe b2 gleichermaßen die Aquivalenz?- weiß nicht, ob ich das verständlich ausgedrückt habe)--Honeydukes 01:15, 29. Apr. 2012 (CEST)

äquivalent ist dieses:
$A\Rightarrow B$ $\iff$ $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
ich bin mir nicht sicher was du meinst - ich denke dies:
$B\Rightarrow A$ $\iff$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
und dies stimmt ja so nicht.--Studentin 12:16, 29. Apr. 2012 (CEST)

Ich meine
$A\Rightarrow B$
$\wedge$ $B\Rightarrow A$
.
Das ist doch dann $A\iff B$
,oder nicht? --Honeydukes 14:51, 30. Apr. 2012 (CEST)

das hier ist auch ne äquivalenz, würde ich sagen:
($A\Rightarrow B$$\wedge$$B\Rightarrow A$) $\iff$ ($A\iff B$)
aber gefragt war ja: "Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage?", also eine zum stufenwinkelsatz äquivalente aussage ist gesucht.--Studentin 22:28, 30. Apr. 2012 (CEST)

Ja, also dann sind nur 1. und 3. (der Satz und seine Kontraposition) äquivalent.--Honeydukes 23:48, 2. Mai 2012 (CEST)
So ist es, super Diskussion - danke!--Tutorin Anne 12:42, 4. Mai 2012 (CEST)