Lösung von Aufgabe 2.9 SoSe 2018

Aufgabe 2.9 SoSe 2018 Wir setzen ebene Geometrie voraus. Satz: Tangentenkriterium Es seien $g$ eine Gerade und $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$. Ferner sei $B$ ein Punkt, den die Gerade $g$ mit dem Kreis $k$ gemeinsam hat. (*) $k\cap g=\{B\}\iff g\perp \overline{MB}$ a) Aussage (*) beinhaltet zwei Aussagen $(\Rightarrow$ und $\Leftarrow )$. Formulieren Sie beide Aussagen so, dass sie auch Schüler einer neunten Klasse Werkrealschule verstehen können. b) Beweisen Sie die Aussage $\Leftarrow$ mittels eines Widerspruchsbeweises. Lösung Teilaufgabe a) Wenn eine Gerade Tangente $t$ im Punkt $B$ an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ ist, dann steht $t$ senkrecht auf dem Berührungsradius $\overline{MB}$. Wenn eine Gerade $t$ den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ im Punkt $B$ schneidet und senkrecht auf der Strecke $\overline{MB}$ steht, dann ist die gerade $t$ Tangente an den Kreis $k$. Teilaufgabe b) Voraussetzung $\begin{array}{cc}\text{I}& B\in t\wedge B\in k\\ \text{II}& t\perp \overline{MB}\\ \end{array}$ Behauptung $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }A\in k\cap t:A\equiv ̸B$ Annahme $\mathrm{\exists }A\in k\cap t:A\equiv ̸B$ Beweis Das Dreieck $\overline{ABM}$ ist gleichschenklig, weil $\overline{MA}$ und $\overline{MB}$ Radien von $k$ sind. Die Winkel $\mathrm{\angle }MBA$ und $\mathrm{\angle }MAB$ sind die Basiwinkel dieses Dreiecks. Weil nach $\text{II}$ der Winkel $\mathrm{\angle }MBA$ ein Rechter ist muss nach dem Basiswinkelsatz auch der Winkel $\mathrm{\angle }MAB$ ein Rechter sein. Das wäre jedoch ein Widerspruch zum Innenwinkelsatz für Dreiecke.