Lösung von Aufgabe 5.6 P (WS 18 19)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) $\mathrm{\Theta }$ beinhaltet alle Punkte A und B, deren Strecke $\overline{AB}$ keine Schnittpunkte mit g besitzt. b) refl: (Die Strecke A)A geschnitten g ist eine Leere Menge (Es gibt aber keine Strecke, weil sie nur einen Punkt beinhaltet. symm: $\overline{AB}$ und $\overline{BA}$ sind identisch, also schneiden beide g nicht. tran: Wenn $\overline{BC}$ g nicht schneidet, dann liegt C auf der gleichen Seite von g wie A und B, also schneidet $\overline{AC}$ g auch nicht. --CIG UA (Diskussion) 20:36, 18. Nov. 2018 (CET)