Projektionen und Strahlensätze 2010

Zentralprojektionen

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Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{\Re }$ und $Z$ ein Punkt aus $\mathfrak{\Re }$ der nicht zu $\beta$ gehört.
Die Zentralprojektion $Z{P}_{Z,\beta }$ ist eine Abbildung von $\mathfrak{\Re }\setminus Z$ auf die Ebene $\beta$ mit:
$\mathrm{\forall }P\in \mathfrak{\Re }\setminus Z:Z{P}_{Z,\beta }(P)=ZP\cap \beta$

Die Ebene $\beta$ heißt Bildebene bei der Zentralprojektion $Z{P}_{Z,\beta }$ und der Punkt $Z$ Zentralpunkt der $Z{P}_{Z,\beta }$.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\beta$ und $Z$ ein Punkt aus $\beta$ der nicht zu $g$ gehört.
Die Zentralprojektion $Z{P}_{Z,g}$ ist eine Abbildung von $\beta \setminus Z$ auf die Gerade $g$ mit:
$\mathrm{\forall }P\in \beta \setminus Z:Z{P}_{Z,g}(P)=ZP\cap g$

Die Gerade $g$ heißt Bildgerade bei der Zentralprojektion $Z{P}_{Z,g}$ und der Punkt $Z$ Zentralpunkt der $Z{P}_{Z,g}$.
--Tja??? 10:47, 13. Jan. 2011 (UTC)

korrekt, --*m.g.* 15:54, 13. Jan. 2011 (UTC) Wie wäre es damit:

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{\Re }$ und ${ℛ}$ eine Richtung mit $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }g:g\subset {ℛ}\wedge g\subset \beta$.

Unter der Parallelprojektion des Raumes $\mathfrak{\Re }$ auf die Bildebene $\beta$ mit der Projektionsrichtung ${ℛ}$ versteht man die Abbildung von $\mathfrak{\Re }$ auf $\beta$, die jedem Punkt $P\in \mathfrak{\Re }$ derart auf sein Bild $P^{\prime }$ abbildet, dass gilt:

$\left\{P^{\prime }\right\}=g\cap \beta$ mit $g\in {ℛ}\wedge P\in g$--*m.g.* 14:50, 18. Jan. 2011 (UTC)

alte Version von Tja in der Diskussion.

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei $b$ eine Gerade der Ebene $\mathfrak{𝔈}$ und ${ℛ}$ eine Richtung in $\mathfrak{𝔈}$ mit $b\in ̸{ℛ}$.

Unter der Parallelprojektion der Ebene $\mathfrak{𝔈}$ auf die Bildgerade $b$ versteht man die Abbildung, die jeden Punkt $P\in \mathfrak{𝔈}$ derart auf sein Bild $P^{\prime }$ abbildet, dass gilt:

$\left\{P^{\prime }\right\}=g\cap b$ mit $g\in {ℛ}\wedge P\in g$.

In Zeichen: $P{P}_{{ℛ},b}$

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei $P{P}_{{ℛ},b}$eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $b$. Jeder Punkt der Bildgeraden $b$ ist bezüglich $P{P}_{{ℛ},b}$ein Fixpunkt.

Satz von der Mittelparallelen im Dreieck