Serie 04 12 13

Pfeilklassen und $\mathbb{ℝ}$Vektorräume

Aufgabe 4.1

Ein Vektor $\overrightarrow{v}$ wird durch einen Pfeil $\overrightarrow{AB}$ repräsentiert. Geben Sie $\overrightarrow{v}$ als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

Aufgabe 4.2

Gegeben ist eine Verschiebung $\overrightarrow{v}$ des Raumes durch einen Verschiebungspfeil $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ mit $P(2,1,3)$ und $P^{\prime }(5,3,-1)$.

a) Geben Sie den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte $A(3,-2,4)$ und $B(3.5,2.5,-5)$ bei der Verschiebung $\overrightarrow{v}$ an.

Aufgabe 4.3

Durch $\overrightarrow{v_1}=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{v_2}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 4\end{array}\right)$ werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt $P(-3,-3,3)$ wird zunächst um $\overrightarrow{v_1}$ und dann um $\overrightarrow{v_2}$ verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt $P^{\prime }$ und $P^{″}$ an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor $\overrightarrow{v}$ an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen $\overrightarrow{v_1}$ und $\overrightarrow{v_2}$ beschreibt.

Aufgabe 4.4

Zeigen Sie, dass die Menge $P_2=\{p|p(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0;$ mit $a_0,a_1,a_2\in \mathbb{ℝ}\}$ der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ für beliebige $p,q\in P$ mit$p(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ und $q(x)=b_2{x}^2+b_{1}x+b_0$ sowie $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ ein Vektorraum ist:

$(p+q)(x):=p(x)+q(x)=(a_2+b_2)x^2+(a_1+b_1)x+(a_0+b_0)$,

$(\lambda \cdot p)(x):=\lambda \cdot p(x)=\lambda a_2{x}^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_0$

Lösungen

Lösungen zu den Aufgaben 4