Serie 05 12 13

Aufgabe 5.1

Es sei $\phi \in \mathbb{ℝ}$.
Wir definieren die folgende Abbildung $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$
$\mathrm{\forall }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathbb{ℝ}}^2:f\left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}cos(\phi )& -sin(\phi )\\ sin(\phi )& cos(\phi )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}cos(\phi )x+(-sin(\phi ))y\\ sin(\phi )x+cos(\phi )y\end{array}\right)$.
Beweisen Sie: $f$ ist eine lineare Abbildung.
Interpretieren Sie $f$ geometrisch.
Hilfe:

Aufgabe 5.2

Es sei $Z=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ d\end{array}\right)$,$d\in \mathbb{ℝ},d>0$

Es sei $\epsilon$ die $x-y-$Ebene, die wir wiederum als ${\mathbb{ℝ}}^2$ interpretieren. Wir bilden jedes Element des ${\mathbb{ℝ}}^3$ mittels der Abbildung $Z{P}_Z$auf $\epsilon$ wie folgt ab:
$\mathrm{\forall }P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in \mathbb{ℝ}\setminus Z:Z{P}_Z(P)=ZP\cap \epsilon$.
Beweisen Sie: $Z{P}_Z$ ist linear.

Aufgabe 5.3

Geben sei $B$ eine Menge, die aus folgenden Vektoren des $\mathbb{ℝ}3$ besteht:

$\overrightarrow{b_1}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{b_2}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)$, $\overrightarrow{b_3}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$

Beweisen Sie: Jedes $\overrightarrow{a}$ aus ${\mathbb{ℝ}}^3$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren der Menge $M$ darstellen.