Serie 07 12 13

Aufgabe 7.1

Austauschlemma:
Sei $B=(v_1,v_2....v_r)$Basis und $b={\lambda }_1{v}_1+...+{\lambda }_n{v}_n$. Falls ${\lambda }_k\ne 0$ ist (für ein $k\in \mathbb{\mathbb{N}},1\le k\le n)$, so ist auch die Menge $B^{\prime }=\{v_1,...v_{k-1},b,v_{k+1}...,v_n\}$ eine Basis von V.

Beweisen Sie das Lemma.

(Veranschaulichen Sie das Lemma mit einem konkreten Beispiel.)

Aufgabe 7.2

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$X=\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ -1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ -2\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\\ 1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ -1\end{array}\right);\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right)\}.$
Gilt $<X>={\mathbb{ℝ}}^4$?

Aufgabe 7.3

Konstruieren Sie eine Basis für den von $v_1=(1,-2,0,1),v_2=(0,0,2,5),v_3=(-2,4,2,3)$

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von ${\mathbb{ℝ}}^4$.

Aufgabe 7.4

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren $v_1=(4,4,4),v_2=(2,4,6)$ und $v_3=(3,4,5)$ ein Erzeugendensystem von${\mathbb{ℝ}}^3$ bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche $t\in \mathbb{ℝ}$ die Vektoren $v_1=(1,3,4),v_2=(3,t,11),v_3=(-4,-4,0)$ linear abhängig in ${\mathbb{ℝ}}^3$ sind.