Verschiebungen 2010

Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung

Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen)

"Konstruktionsvorschrift": $P^{\prime }=P+\overrightarrow{AB}$

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben sind ein Punkt $D$ und sein Bildpunkt $D^{\prime }$, sowie ein Punkt $P$. Gesucht ist sein Bildpunkt $P^{\prime }$bei der Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$

(1) Für den Fall, dass gilt: $D,D^{\prime },P$ sind nicht kollinear.

1. Parallele zu $\overline{D{D}^{\prime }}$ durch $P$

2. Parallele zu $\overline{DP}$ durch $D^{\prime }$

3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt $P^{\prime }$

(2) Für den Fall, dass gilt: $D,D^{\prime },P$ sind kollinear.

1. Konstruiere einen beliebigen Punkt $Q$ der Ebene der nicht kollinear zu $D,D^{\prime },P$ ist.

2. Konstruiere den Bildpunkt $Q^{\prime }$ von $Q$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, wie in (1) beschrieben.

3. Konstruiere nun den Bildpunkt $P^{\prime }$ von $P$ bei der Verschiebung an $\overrightarrow{Q{Q}^{\prime }}$ wie in (1) beschrieben. $P^{\prime }$ ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, da $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ und $\overrightarrow{Q{Q}^{\prime }}$ den gleichen Richtungssinn haben. --Steph85

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --Tja??? 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

Definition der Verschiebung

...

Eine andere Möglichkeit der Definition?

Es sei $\overrightarrow{AB}$ ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften:
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten:
1. $|AB|=|P{P}^{\prime }|$
2. $\overline{AB}$ $\Vert$ $\overline{P{P}^{\prime }}$
3. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ haben den selbern Richtungssinn
--Tja??? 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung.

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

Es sei $V$ eine Verschiebung längs des Pfeiles $\overrightarrow{AB}$ und $P,Q$ zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern $P^{\prime },Q^{\prime }$ bei $V$, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil $\overrightarrow{AB}$ liegen.
Wir haben zu zeigen, dass $\overline{PQ}\cong \overline{P^{\prime }{Q}^{\prime }}$ ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass $\overline{PQ{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}$ ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline{P{P}^{\prime }}\Vert \overline{Q{Q}^{\prime }}$	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
2) $\overline{ABP{P}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes $P$ ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms $\overline{ABP{P}^{\prime }}$.")
3) $\overline{ABQ{Q}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
4) Aus $\overline{AB}\cong \overline{P{P}^{\prime }}$ und $\overline{AB}\cong \overline{Q{Q}^{\prime }}$ folgt $\overline{P{P}^{\prime }}\cong \overline{Q{Q}^{\prime }}$	(2), (3), Transitivität
5) $\overline{PQ{Q}^{\prime }{P}^{\prime }}$ ist ein Parallelogramm.	(1), (4)

--Steph85

• oder : kompletter Beweis abfotographiert

Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung.

Satzvormulierungen:
Jede fixpunktfreie Bewegung,
bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen,
ist eine Verschiebung.

oder kürzer, aber ungenau:
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist,
ist eine Verschiebung.
--Tja??? 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

oder vielleicht: Jede Bewegung, bei der es (min.)2 verschiedene Fixgeraden gibt, ist eine Verschiebung.

Satz: $V$ $\overrightarrow{AB}=$ $V$ $\overrightarrow{DE}$unter der Vorraussetzung $AB\Vert DE$ , $\overline{AB}=\overline{DE}$ und $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{DE}$ haben den gleichen Richtungssinn.

Vorraussetzung:
1.$AB\Vert DE$
2. $\overline{AB}=\overline{DE}$
3. $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{DE}$ haben den gleichen Richtungssinn
Behauptung: $V$ $\overrightarrow{AB}=$ $V$ $\overrightarrow{DE}$
Beweis:
$P^{\prime }$ ist das Bild von $P$ bei der Verschiebung $V$ $\overrightarrow{AB}$. $P{P}^{\prime }\Vert DE$ , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das $P^{\prime }E\Vert PD$. Dies gilt, wenn $\overline{P{P}^{\prime }ED}$ ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall. ...
q.e.d.
--Tetraeder 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)

Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck $ABCD$ gilt:$AB\Vert CD$ und $\overline{AB}=\overline{CD}$, dann ist $ABCD$ ein Parallelogramm.

Voraussetzung: konvexes Viereck $ABCD$, $AB\Vert CD$ und $\overline{AB}=\overline{CD}$
zu zeigen: $AD\Vert BC$

Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) $\overline{AC}\cong \overline{AC}$	trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
2) <DCA $\cong$<BAC	Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
3) $\overline{ACD}=\overline{CAB}$	SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
4) <BCA$\cong$<DAC	(3), Def. kongruente Dreiecke
5) $AD\Vert BC$	(4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz

- Tja???

==== Alternativer Beweis ====

Wenn wir zeigen, dass die Punkte $A$ und $D$ den selben Abstand von der Geraden $BC$ haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: $AD\Vert BC$

Beweis

Beweisschritt	Begründung
1) Wir fällen das Lot von $A$ und $D$ auf die Gerade $BC$
2) $\mathrm{\angle }LBA$ und $\mathrm{\angle }{L}^{\prime }CD$, sowie $\mathrm{\angle }BAL$ und $\mathrm{\angle }CD{L}^{\prime }$ sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen $AB$ und $CD$	Stufenwinkelsatz
3) $\overline{AB}\cong \overline{CD}$	Voraussetzung
4) Die Dreiecke $\overline{ABL}$ und $\overline{D{L}^{\prime }C}$ sind kongruent	(2), (3), WSW
5) Die Punkte $A$ und $D$ haben somit den gleichen Abstand von $BC$. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass $\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm ist.

- Steph85