Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12)

Zentralprojektionen

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Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{\Re }$ und $Z$ ein Punkt aus $\mathfrak{\Re }$ der nicht zu $\beta$ gehört.
Die Zentralprojektion $Z{P}_{Z,\beta }$ ist eine Abbildung von $\mathfrak{\Re }\setminus Z$ auf die Ebene $\beta$ mit:
$\mathrm{\forall }P\in \mathfrak{\Re }\setminus Z:Z{P}_{Z,\beta }(P)=ZP\cap \beta$

Die Ebene $\beta$ heißt Bildebene bei der Zentralprojektion $Z{P}_{Z,\beta }$ und der Punkt $Z$ Zentralpunkt der $Z{P}_{Z,\beta }$.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{\Re }$ und ${ℛ}$ eine Richtung mit $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }g:g\subset {ℛ}\wedge g\subset \beta$.

Unter der Parallelprojektion des Raumes $\mathfrak{\Re }$ auf die Bildebene $\beta$ mit der Projektionsrichtung ${ℛ}$ versteht man die Abbildung von $\mathfrak{\Re }$ auf $\beta$, die jedem Punkt $P\in \mathfrak{\Re }$ derart auf sein Bild $P^{\prime }$ abbildet, dass gilt:

$\left\{P^{\prime }\right\}=g\cap \beta$ mit $g\in {ℛ}\wedge P\in g$

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei $b$ eine Gerade der Ebene $\mathfrak{𝔈}$ und ${ℛ}$ eine Richtung in $\mathfrak{𝔈}$ mit $b\in ̸{ℛ}$.

Unter der Parallelprojektion der Ebene $\mathfrak{𝔈}$ auf die Bildgerade $b$ versteht man die Abbildung, die jeden Punkt $P\in \mathfrak{𝔈}$ derart auf sein Bild $P^{\prime }$ abbildet, dass gilt:

$\left\{P^{\prime }\right\}=g\cap b$ mit $g\in {ℛ}\wedge P\in g$.

In Zeichen: $P{P}_{{ℛ},b}$

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei $P{P}_{{ℛ},b}$eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $b$. Jeder Punkt der Bildgeraden $b$ ist bezüglich $P{P}_{{ℛ},b}$ein Fixpunkt.

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Es sei $\overline{ABC}$ eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien $M_a$ und $M_b$ die Mittelpunkte der Seiten $a$ bzw. $b$ des Dreiecks $\overline{ABC}$. Dann gilt:

(I) $M_a{M}_b\Vert |AB$

(II) $\left|M_a{M}_b\right|=\frac{\left|AB\right|}{2}$

Satz II.03: Projektionssatz

Es sei $P{P}_{{ℛ},b}$ eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $g$. Die Gerade$a$ möge $g$ in $P_0$ und nur in $P_0$ schneiden. $P_1,P_2,P_3,...,P_n$sei eine Folge von Punkten auf $a$ mit $\left|P_0{P}_1\right|=\left|P_1{P}_2\right|=\left|P_2{P}_3\right|=...=\left|P_{n-1}{P}_n\right|$. $P{\text{'}}_1,P{\text{'}}_2,P{\text{'}}_3,...,P{\text{'}}_n$ seiene die Bilder von $P_1,P_2,P_3,...,P_n$ bei $P{P}_{{ℛ},b}$.

Dann gilt: $\left|P_{0}P{\text{'}}_1\right|=\left|P{\text{'}}_{1}P{\text{'}}_2\right|=\left|P{\text{'}}_{2}P{\text{'}}_3\right|=...=\left|P{\text{'}}_{n-1}P{\text{'}}_n\right|$.

Beweisidee

Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.