Zentrische Streckungen (2011/12)

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei $Z$ ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene $\epsilon$. Ferner sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}} . Unter der zentrischen Streckung $Z{S}_{Z,k}$mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ versteht man eine Abbildung von $\epsilon$ auf sich mit $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :Z{S}_{Z,k}(P)=Z+k\overrightarrow{ZP}$.

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von $k$ und verschiedenen Positionen von $P$ (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung $Z{S}_{Z,k}$ ist genau dann die Identität, wenn $k=1$ gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien $A,B,C$ drei Punkte und $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ deren Bilder bei der zentrischen Streckung $Z{S}_{Z,k}$. Wenn $\mathrm{koll}(A,B,C)$, dann $\mathrm{koll}(A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })$.

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe

Hinweise:

(I) $\mathrm{koll}(A,B,C)\iff \mathrm{Zw}(A,B,C)\vee \mathrm{Zw}(B,A,C)\vee \mathrm{Zw}(A,C,B)$

(II) $\mathrm{Zw}(A,B,C)\iff |AB|+|BC|=|AC|$

Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung $Z{S}_{Z,k}$ gilt: Jede Gerade, die durch durch $Z$ geht, ist ein Fixgerade bei $Z{S}_{Z,k}$.

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei $g$ eine Gerade und $g^{\prime }$ ihr Bild bei $Z{S}_{Z,k}$. Es gilt: $g\Vert |g^{\prime }$.

Beweis von Satz II.12

Fall 1

$Z\in g$

Nach Satz II.11 gilt $g\equiv g^{\prime }$ und damit $g\Vert |g^{\prime }$.

Fall 2

$Z\in ̸g$

Annahme: $\mathrm{\exists }S\in g\cap g^{\prime }$

Fall 2.1: $\mathrm{\exists }T\in g\cap g^{\prime },T\equiv ̸S$

trivial, $g\equiv g^{\prime }$

Fall 2.2: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left{S\right}=g \cap g'}

Übungsaufgabe

Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
$|Z{P}^{\prime }|=|ZP|k$ und $|Z{Q}^{\prime }|=|ZQ|k$.

Nun gilt: $\frac{|ZQ|k}{|ZQ|}=\frac{|ZP|k}{|ZP|}=k$.

Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist.
q. e. d.

--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)