Übungen 06

Aufgabe 1

Gegeben sind ein Unterraum $U$ eines Vektorraums $V$ und Vektoren $\vec{u}, \vec{u} \in V$.
Welche der Aussagen sind richtig? Geben Sie Begrünudngen oder Gegenbeispiele an.

a) Gehören $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht zu $U$, so ist auch $\vec{u}+\vec{v} \not\in V$.

b) Gehören $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht zu $U$, so ist auch $\vec{u}+\vec{v}\in V$.

c) Gehört $\vec{u}$ zu U, nicht aber $\vec{v}$, so ist $\vec{u}+\vec{v} \not\in V$.

Aufgabe 2

Geben Sie bei folgenden Teilmengen des Vektorraums $\mathbb{R}^3$ an, ob Sie Unterräume sind; begründen Sie Ihre Aussagen!

a) $U_1 := \left\{\left. \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \;\; \right| \;\; v_1 + v_2 = 2\right\}$

b) $U_2 := \left\{\left. \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \;\; \right| \;\; v_1 + v_2 = v_3\right\}$

c) $U_3 := \left\{\left. \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}) \in \mathbb{R}^3 \;\; \right| \;\; v_1 \cdot v_2 = v_3\right\}$

Aufgabe 3

Begründen Sie, dass Lösungsmengen inhomogener Gleichungssysteme keine Unterräume sind.

Aufgabe 4

Weisen Sie nach, dass die Menge aller 2x2 Matrizen der Form $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ mir $a,b \in \mathbb{R}$ und den in der Vorlesung verwendeten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ ein Unterraum aller Matrizen der Form $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ ist.