Quelltext der Seite Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:<br /> 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist.<br /> 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:<br />
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.<br /> 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br /><br />

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
<math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math>  . <br />
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun <br />
1. die ''behauptung'':<math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>  <br />
 du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)
und  <br />
2. die annahme (gegenteil der behauptung):<math> a\not \parallel c</math>,<br />
um sie zu einem widerspruch zu führen.<br />

[[Datei:Parallele mit schnittpunkt 001.jpg|600px]]<br />
wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.<br />
es ist gegeben, dass <math>\ a \|| b \wedge b \|| c </math>, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.<br />
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein.
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)<br /><br />
durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)
<br />p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:19, 23. Mai 2012 (CEST)

{| class="wikitable sortable" 
!Beweisschritt!!Begründung
|- 
| (1)  a nicht parallel c || 1. somit Schnittpunkt a und c
|- 
| (2) b nicht parallel c || 2. Da Schnittpunkt auf beiden ist 
|-
| (3)  a parallel b und b nicht parallel c  || 3. Parallelaxiom
|} 

so ?--[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)

b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?<br />
die relation <math>\|| </math> ist transitiv.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]