Lösung von Aufgabe 5.1P (SoSe 12)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
$\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
für den widerspruchsbeweis nehme ich nun
1. die behauptung:$\ a \|| b \wedge b \|| c$

du meinst sicher die Voraussetzung, die du richtig genannt hast.--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

und
2. die annahme (gegenteil der behauptung):$a\not \parallel c$,
um sie zu einem widerspruch zu führen.

wenn a und c nicht parallel sind, haben sie einen schnittpunkt.
es ist gegeben, dass $\ a \|| b \wedge b \|| c$, beide (a und c) müssen also zu b parallel sein.
da der schnittpunkt auf beiden liegt und das parallelaxiom gilt, gibt es durch dieses schnittpunkt nur eine (nicht zwei(a und c)) parallele geraden. a und c müssen also identisch sein. --Studentin 09:35, 11. Mai 2012 (CEST)

sehr gut! Natürlich lässt sich das auch in Form einer Tabelle aufführen. Möchten sich noch andere versuchen?--Tutorin Anne 18:27, 22. Mai 2012 (CEST)

In dem Sinne ist der Widerspruch widerlegt da in dem Fall a und c einen Schnittpunkt haben und da durch das Axiom kein Punkt A auf der geraden a liegen darf ist nur b mit a parallel aber nicht b mit c und somit ist auch nicht a mit c. habe cih das richtig verstanden? --Malilglowka 15:12, 23. Mai 2012 (CEST)

durch den punkt a darf nur eine(!) gerade geben, die zur geraden b parallel ist (p.-axiom), da a und c durch den schnittpunkt gehen, müssen beide identisch sein.--Studentin 15:17, 23. Mai 2012 (CEST)
p.s.: sie können sich also nicht schneiden (wie es in der annahme behauptet wird. damit ist die annahme widerlegt und die implikation durch widerspruch bewiesen.--Studentin 15:19, 23. Mai 2012 (CEST)

Beweisschritt	Begründung
(1) a nicht parallel c	1. somit Schnittpunkt a und c
(2) b nicht parallel c	2. Da Schnittpunkt auf beiden ist
(3) a parallel b und b nicht parallel c	3. Parallelaxiom

so ?--Malilglowka 15:18, 23. Mai 2012 (CEST)

a nicht parallel zu c führt zum schnittpunkt --> annahme und noch dafür begrüngung finden.
a parallel zu b --> aus vorraussetzung
b und c sind parallel --> aus vorraussetzung
durch den schnittpunkt gibt es nur eine gerade, die zu b parallel ist --> par.-axiom
schnittpunkt ist aber von zwei nicht parallelen geraden a unc c --> annahme
damit funktioniert die ganze idee nicht mehr, der annahme kann widersprochen werden und die implikation ist bewiesen.--Studentin 15:30, 23. Mai 2012 (CEST)

b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
die relation $\||$ ist transitiv.--Studentin 09:39, 11. Mai 2012 (CEST)