Quelltext der Seite Übung 12 SoSe 12

'''Hinweis: Auf diesem Übungsblatt finden Sie einige Beweise, die in der VL schon geführt wurden bzw. die Beweisidee angedeutet wurde. Schreiben Sie die Beweise zur Übung sauber auf.'''

=Absolute Geometrie=

== Aufgabe 12.1 ==
Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

[[Lösung von Aufg. 12.1_S]]

== Aufgabe 12.2 ==
Beweisen Sie die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes<br />
'''a)''' mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.<br />
'''b)''' ohne die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes zu verwenden.<br />

[[Lösung von Aufg. 12.2_S]]

== Aufgabe 12.3 ==
Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.
<br />
[[Lösung von Aufg. 12.3_S]]

== Aufgabe 12.4 ==
Es sei folgende Definition für den Begriff ''Parallelogramm'' gegeben:<br />
::Definition 1: Ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten heißt Parallelogramm.<br />
'''Beweisen Sie:''' Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm (entsprechend Definition 1).<br />
[[Lösung von Aufg. 12.4_S]]

=Euklidische Geometrie=

== Aufgabe 12.4 ==
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:<br />
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

[[Lösung von Aufg. 12.4_S]]

== Aufgabe 12.5 ==
Beweisen Sie den Wechselwinkelsatz, ohne den Stufenwinkelsatz zu verwenden.<br />
[[Lösung von Aufg. 12.5_S]]

== Aufgabe 12.6 ==
Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke<br />
'''a)''' mithilfe des Stufenwinkelsatzes.<br />
'''b)''' mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.<br />
[[Lösung von Aufg. 12.6_S]]

== Aufgabe 12.7 ==
Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

[[Lösung von Aufg. 12.7_S]]