Übung 12 SoSe 12

Hinweis: Auf diesem Übungsblatt finden Sie einige Beweise, die in der VL schon geführt wurden bzw. die Beweisidee angedeutet wurde. Schreiben Sie die Beweise zur Übung sauber auf.

Absolute Geometrie

Aufgabe 12.1

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Lösung von Aufg. 12.1_S

Aufgabe 12.2

Beweisen Sie die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes
a) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
b) ohne die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes zu verwenden.

Lösung von Aufg. 12.2_S

Aufgabe 12.3

Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parellel zu $\ g$ ist.
Lösung von Aufg. 12.3_S

Aufgabe 12.4

Es sei folgende Definition für den Begriff Parallelogramm gegeben:

Definition 1: Ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten heißt Parallelogramm.

Beweisen Sie: Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, dann ist das Viereck ein Parallelogramm (entsprechend Definition 1).
Lösung von Aufg. 12.4_S

Euklidische Geometrie

Aufgabe 12.5

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:
Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Lösung von Aufg. 12.5_S

Aufgabe 12.6

Beweisen Sie den Wechselwinkelsatz, ohne den Stufenwinkelsatz zu verwenden.
Lösung von Aufg. 12.6_S

Aufgabe 12.7

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke
a) mithilfe des Stufenwinkelsatzes.
b) mithilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.
Lösung von Aufg. 12.7_S

Aufgabe 12.8

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Lösung von Aufg. 12.8_S