Quelltext der Seite Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
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=Strecken=
==Definition==
'''Definition''': (Strecke <math>\overline{AB}</math>)
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei beliebige Punkte. Unter der Strecke <math>\overline{AB}</math> versteht man die folgende Punktmenge: <math>\overline{AB}:=\{P|\operatorname{Zw}(A,P,C)\}\cup\{A,B\}</math>.
==Bemerkung==
Im Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> identisch sind. Der Grund hierfür liegt in der Notwendigkeit der Existenz des Nullvektors im Vektorraum der Pfeilklassen.
=gerichtete Strecken bzw Pfeile=
'''Definition''': (gerichtete Strecke <math>\overrightarrow{AB}</math>)
::Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke. Wir fassen die Endpunkte zu einem geordneten Paar zusammen <math>(A,B)</math> und nennen <math>A</math> Anfangspunkt und <math>B</math> Endpunkt. Die gerichtete Strecke <math>\overrightarrow{AB}</math> bzw.der Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> ist eine Strecke mit einem Anfangs und einem Endpunkt.
=Pfeilklassen=
'''Definition''': (Pfeilgleichheit)
:: Zwei Pfeile <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\overrightarrow{CD}</math> stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn <math>\overline{A,C,D,B}</math> ein Parallelogramm ist. In Zeichen: <math>\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}</math>
'''Satz''': (Pfeilgleichheit ist ÄR)
::Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile.<br />
'''Beweis''': Übungsaufgabe
'''Definition''': (Pfeilklasse)
::Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich.<br />
Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit <math>\overrightarrow{AB}</math> den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: <math>a</math> meint einen bestimmten Pfeil und <math>\overrightarrow{a}</math> bezeichnet die Pfeilklasse, die durch <math>a</math> eindeutig bestimmt ist.
=Addition von Pfeilklassen=
'''Definition''': (Addition von Pfeilklassen)
::Es seien <math>\overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{b}</math> zwei Pfeilklassen. Die Addition <math>\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}</math> ist wie folgt definiert: Es seien <math>\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}</math> und <math>\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}</math>. <math>\overrightarrow{c}</math> ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil <math>\overrightarrow{AC}</math> eindeutig bestimmt ist.<br />

'''Satz''': (Wohldefiniertheit der Operation <math>\oplus</math>
::Die Operation <math>\oplus </math> auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig.<br />
Beweis : ÜA
=Die Pfeilklasse <math>\overrightarrow{o}</math>=
'''Definition''': (<math>\overrightarrow{o}</math>)
::<math>\overrightarrow{o}</math> ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind.
=Die Gruppe der Pfeilklassen=
Es sei 

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[[Kategorie:Linalg]]

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