Strecken, Pfeile und Pfeilklassen SoSe 2017

Strecken Definition Definition: (Strecke $\overline{AB}$) Es seien $A$ und $B$ zwei beliebige Punkte. Unter der Strecke $\overline{AB}$ versteht man die folgende Punktmenge: $\overline{AB}:=\{P|\operatorname{Zw}(A,P,C)\}\cup\{A,B\}$. Bemerkung Im Gegensatz zur Definition des Begriffs Strecke in der Einführung in die Geometrie lassen wir hier zu, dass die Punkte $A$ und $B$ identisch sind. Der Grund hierfür liegt in der Notwendigkeit der Existenz des Nullvektors im Vektorraum der Pfeilklassen. gerichtete Strecken bzw Pfeile Definition: (gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$) Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke. Wir fassen die Endpunkte zu einem geordneten Paar zusammen $(A,B)$ und nennen $A$ Anfangspunkt und $B$ Endpunkt. Die gerichtete Strecke $\overrightarrow{AB}$ bzw.der Pfeil $\overrightarrow{AB}$ ist eine Strecke mit einem Anfangs und einem Endpunkt. Pfeilklassen Definition: (Pfeilgleichheit) Zwei Pfeile $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ stehen in der Relation pfeilgleich zueinander, wenn $\overline{A,C,D,B}$ ein Parallelogramm ist. In Zeichen: $\overrightarrow{AB}\upuparrows \overrightarrow{CD}$ Satz: (Pfeilgleichheit ist ÄR) Die Relation Pfeilgleichheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile. Beweis: Übungsaufgabe Definition: (Pfeilklasse) Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation pfeilgleich. Die Menge alle Pfeilklassen bezeichnen wir mit $\overrightarrow{\mathbb{P}}$ Hinweis: Jede Pfeilklasse ist durch Angabe eines ihrer Repräsentanten eindeutig bestimmt. Ob wir mit $\overrightarrow{AB}$ den Peil oder die gesamte Pfeilklasse meinen, ergibt sich jeweils aus dem Kontext. Vergleichen Sie mit dem Gebrauch von Brüchen zur Bezeichnung von Bruchzahlen. Bei der Verwendung von kleinen lateinischen Buchstaben zur Bezeichnung von Pfeilen und Pfeilklassen trennen wir: $a$ meint einen bestimmten Pfeil und $\overrightarrow{a}$ bezeichnet die Pfeilklasse, die durch $a$ eindeutig bestimmt ist. Addition von Pfeilklassen Definition: (Addition von Pfeilklassen) Es seien $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zwei Pfeilklassen. Die Addition $\overrightarrow{a}\oplus \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$ ist wie folgt definiert: Es seien $\overrightarrow{AB} \in \overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{BC} \in \overrightarrow{b}$. $\overrightarrow{c}$ ist die Pfeilklasse, die durch den Pfeil $\overrightarrow{AC}$ eindeutig bestimmt ist. Satz: (Wohldefiniertheit der Operation $\oplus$ Die Operation $\oplus$ auf der Menge der Pfeilklassen ist repräsentantenunabhängig. Beweis : ÜA Die Pfeilklasse $\overrightarrow{o}$ Definition: ($\overrightarrow{o}$) $\overrightarrow{o}$ ist die Pfeilklasse, in der alle Pfeile liegen, deren Anfangspunkt mit ihrem Endpunkt identisch sind. Die Gruppe der Pfeilklassen Satz:: (Gruppe der Pfeilklassen) Die Struktur $\left[\overrightarrow{\mathbb{P}}, \oplus\right]$ ist eine abelsche Gruppe: Abgeschlossenheit: $\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}$ Assoziativität: $\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} :( \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b}) \oplus \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \oplus ( \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{c})$ Neutrales Element: $\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{o} \oplus \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{o} = \overrightarrow{a}$ Inverse Elemente: $\forall \overrightarrow{a} \in \overrightarrow{\mathbb{P}} \exists -\overrightarrow{a}: \overrightarrow{a} \oplus -\overrightarrow{a} = \overrightarrow{o}$ Kommutativität: $\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in \overrightarrow{\mathbb{P}}: \overrightarrow{a} \oplus \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \oplus \overrightarrow{a}$. Beweis: Übungsaufgabe Vervielfachen einer Pfeilklasse mit einer reellen Zahl in der Ebene Definition: (Koordinatenkreuz) Es seien $a$ und $b$ zwei Geraden mit $a \perp b$ und dem gemeinsamen Schnittpunkt $O$. Das geordnete Tripel $(a,b,O)$ heißt Koordinatenkreuz mit dem Ursprung $O$. Für die folgenden Überlegungen sei ein Koordinatenkreuz $(a,b,O)$ beliebig aber fest ausgezeichnet. Definition: (Komponenten einer Pfeilklasse $\overrightarrow{a}$) Es sei $\overrightarrow{a}$ eine Pfeilklasse mit dem Repräsentanten $\overrightarrow{OP}$. Es sei