Quelltext der Seite Geradenspiegelungen

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Übungsaufgabe ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.


{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung aneiner Geraden <math>\ g</math><br />
<math>(P \notin g) </math> 
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Wir fällen das Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes<br />So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt <math>\ P</math> und der Geraden <math>\ g</math>. Außerdem steht das Lot senkrecht auf <math>\ g</math> , was die Voraussetzung dafür ist, dass <math>\ g</math> später Mittelsenkrechte werden kann.
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes + Existenz und Eindeutigkeit des Schnittpunktes <math>L</math>
|-
| 2.
| Nun tragen wir die Strecke <math>\overline{PL}</math> auf der Halbgeraden <math>\ LP^-</math> ab
| Axiom vom Lineal (Eindeutigkeit des Streckenabtragens auf einem Strahl)<br />Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten der Halbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden <math>\ g</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Streckenabtragens
|-
| 3.
| Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit <math>\ P'</math>
| <math>\ P'</math> ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an <math>\ g</math>. Das wird dadurch ersichtlich, dass <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> den gleichen Abstand zu <math>\ g</math> haben und  <math>\ g</math> somit Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist.
| (ergänzen!)
|}
 Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:20, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />Mit der Korrektheit ist hier etwas anderes gemeint ... .

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine ....

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
(1) Für den Fall dass P <math>\in</math> <math>\ g</math>: P = P'

(2) Für den fall dass P <math>\notin</math> <math>\ g</math>: Die Gerade <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Alternativ?

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' <math>\in</math> g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].

 Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:49, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />
 "Balken drüber": \overline{AA'}: <math>\overline{AA'}</math><br />
 Handelt es sich wirklich um eine Definition des Begriffs Geradenspiegelung<br />oder doch eher um eine Definition des Begriffs Spiegelgerade? <br />Beide hängen natürlich eng miteinander zusammen, aber wenn Geradenspiegelung zu definieren ist ... .<br />
 Macht es Sinn einem Punkt seine Spiegelgerade zuzuordnen ("s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A")

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer  Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:
=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.
 
 Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:01, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />Auch wenn wir Umlaufsinn bisher nirgends definiert haben,<br />wissen wir, dass jede Geradenspieglung den Umlaufsinn verändert.<br />Kann eine Geradenspeigelung damit die Identität sein?<br />Sie meinen nicht, dass die jweils betrachtete Geradenspiegelung die Identität ist,<br />sondern, dass jeder Punkt der Spiegelgeraden <math>g</math> auf sich selbst abgebildet wird.

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis<br />

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 2.
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 3.
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
|-
| 4.
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 5.
| <math>\overline {ABL}</math>  kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
| 2. + 3. + 4. + SWS
|-
| 6.
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math> 
| 5.
|}


=====Fall 3=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis<br />

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 2.
| <math>\overline {AML}</math>  kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
| 1.
|-
| 3.
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und  <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'}  ||  \overline {BB'}</math>
|-
| 4.
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> -->  <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
| 2. + 3. 
|-
| 5.
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 6.
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
| 2.
|-
| 7.
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
| 4. + 5. + 6. + SWS
|-
| 8.
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
| 7.
|}
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.

Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja  <math>\overline{BB'}</math> ist korrekt, habs geändert. <br />Vielen Dank :) --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)

 Bemerkung--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:44, 1. Nov. 2010 (UTC):<br />soweit ich sehe ist der Beweis korrekt.<br />Fall 2 dürfte, da er bereits bewiesen wurde, verwendet werden.<br />Vielleicht doch zwei Unterfälle:<br /><math>A</math> und <math>B</math> in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />und<br /> <math>A</math> und <math>B</math> in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math>?

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
==== Satz 2.2 ====
:: Zu jeder Geraden gibt es genau eine Geradenspiegelung.


Anders ausgedrückt: Eine Geradenspieglung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls  <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.

Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline PS(P) </math> ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)